МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Вступительная олимпиада

Первый поток (19 сентября 2015 года)

Тестовая часть

В каждом задании тестовой части нужно привести только полный исчерпывающий ответ. Решений писать не нужно.

1.

Дима загадал число, разделил его на 5, к частному прибавил 40, от суммы отнял 11, разность умножил на 3 и получил 102. Какое число загадал Дима?

2.

За время дискотеки каждый мальчик потанцевал с двумя девочками, а каждая девочка потанцевала с тремя мальчиками. Во сколько раз мальчиков пришло на дискотеку больше, чем девочек?

3.

На чертеже циркулем нарисовано несколько чертят, каждый из которых является либо черненьким, либо беленьким, а также либо чумазеньким, либо чистеньким. Общее количество чумазеньких чертят в полтора раза больше общего количества черненьких. А общее количество всех чертят, за исключением чистеньких беленьких, в два раза больше общего количества черненьких чумазеньких чертят. Кого среди черненьких чертят больше — чистеньких или чумазеньких? Во сколько раз?

4.

Биссектриссы треугольника ABC пересекаются в точке I. Оказалось, что угол AIC равен 110°. Найдите угол ABC.

5.

Разложите на множители многочлен x³ − 7x + 6.

Основная часть

В каждом задании нужно записать полное подробное обоснованное решение.

6.

Из города А в город Б ведет три дороги, а из города Б в город В ведет 4 дороги. Сколькими способами можно от А добраться до В?

7.

Докажите, что в таблице 100×100 нельзя расставить натуральные числа так, чтобы сумма чисел в каждой строке была равна 2015, а сумма чисел в каждом столбце была равна 2016.

8.

Вася записал на доску числа от 1 до 9999. Затем все числа, у которых сумма цифр равна 15 он покрасил в синий цвет, а все числа, у которых сумма цифр равна 21 — в красный. Докажите, что красных и синих чисел поровну.

9.

Даны целые числа a и b. Число 2b² + ab − 6a² делится на 7. Докажите, что число a − 3b тоже делится на 7.

10.

Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. На стороне AD выбрали точку K так, что AK = 2, DK = 1. Найдите OK, если известно, что angleACK = 30°.

Второй поток (26 сентября 2015 года)

Тестовая часть

В каждом задании тестовой части нужно привести только полный исчерпывающий ответ. Решений писать не нужно.

1.

У Маши, Саши и Даши вместе 11 воздушных шариков. У Маши на 2 шарика меньше, чем у Даши, а у Саши на 1 шарик больше, чем у Даши. Сколько шариков у Даши?

2.

Пока Карлсон съедает 12 плюшек, Робин-Бобин успевает съесть только 8 плюшек. Пока Робин-Бобин съедает 12 плюшек, Винни Пух успевает съесть только 9 плюшек. Сколько плюшек успевает съесть Винни Пух, пока Карлсон съедает 12 плюшек?

3.

Упростите выражение: \[\frac{x^2 + 7x + 12}{x^2 + x - 6} + \frac{x^2 - 7x - 8}{x^2 - x - 2}.\]

4.

В коробке лежат два красных куба, два желтых куба, два синих куба и два зеленых куба. Сколькими способами можно выбрать три из них?

5.

В однокруговом футбольном турнире участвовало 20 команд. Оказалось, что если какие-то две из команд сыграли вничью, то хотя бы одна из них завершила вничью не больше трех игр. Каково наибольшее возможное количество ничьих в таком турнире?

Основная часть

В каждом задании нужно записать полное подробное обоснованное решение.

6.

Трое жителей острова рыцарей и лжецов предстали перед судом. Джон завил, что Джек лжец. Джек заявил, что Джим лжец. У Джима спросили, кем является Джон. Что Джим ответил?

7.

Докажите, что n³ − n делится на 24 при любом нечетном n.

8.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC провели биссектрису AL. На продолжении стороны AC за точку C отметили точку E так, что CE = CL. Докажите, что AL = LE.

9.

На доске написаны целые числа от 1 до 14, каждое — по одному разу. Двое играющих по очереди стирают по одному числу до тех пор, пока не останется ровно два числа. Если их сумма — квадрат целого числа, то выигрывает тот, кто ходит вторым, иначе — тот, кто ходит первым. Кто выигрывает при правильной игре?

10.

Головка сыра весит 120 грамм. Саша разрезал ее на 10 кусков и съел самый маленький из них. Затем один из оставшихся кусков он разрезал на два и съел самый маленький кусок из 10 имеющихся. Затем эту операцию (разрезание и съедание) он проделал еще раз. Какое наибольшее количество сыра мог съесть Саша?