МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Евгений Александрович Асташов
2014/2015 учебный год

Занятие 23. По шагам

1.
а)
Незнайка должен был разрезать квадрат на 100 квадратов (не обязательно равных). После тщательного подсчёта оказалось, что он разрезал его не на 100, а только на 97 квадратов. Помогите Незнайке исправить положение и получить ровно 100 квадратов, не переделывая всю работу.
б)
Теперь Незнайке нужно получить 130 квадратов. Как ему это сделать побыстрее?
в)
Пока Незнайка резал квадрат, он задумался: а можно ли получить 131 или 132 квадрата (или ещё какое-нибудь число квадратов)? Ответьте и вы на этот вопрос.
2.
В мешке 64 кг гвоздей. Как с помощью только чашечных весов без гирь отвесить:
а)
32 кг гвоздей;
б)
8 кг гвоздей;
в)
23 кг гвоздей;
г)
n кг (1 ≤ n ≤64, n — целое)?
Пусть требуется доказать утверждение вида «Для каждого натурального n верно, что…». Это то же самое, что доказать бесконечную цепочку утверждений: «Для n = 1 верно, что…», «Для n = 2 верно, что…», «Для n = 3 верно, что…» и так далее. Чтобы доказать всю цепочку утверждений методом математической индукции, достаточно:
1) доказать первое утверждение: «Для n = 1 верно, что…» (база индукции);
2) для каждого натурального k доказать, что если «Для n = k верно, что…», то и «Для n = k + 1 верно, что…» (шаг индукции).
3.
Докажите равенства для любого натурального n:
а)
1 + 2 + 3 + … + n = ½ (n · (n + 1));
б)
1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n2;
в)
12 + 22 + 32 + … + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6. рисунок
4.
У бородатого многоугольника во внешнюю сторону растёт щетина. Его пересекает n прямых, на каждой из которых с одной из сторон тоже растет щетина (см. рисунок выше). В результате многоугольник оказался разбитым на некоторое число частей. Докажите, что хотя бы одна из частей окажется бородатой снаружи.
5.
Известно, что для любых трёх точек A1 ,A2, A3 выполнено неравенство треугольника: A1A2 + A2A3 ≥ A1A3.
а)
Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для n точек (n ≥ 3).
б)
При каком условии неравенство из пункта а) обращается в равенство?
6.
Бодрый студент на лекции записывал по 90 слов в минуту. Сонный студент сначала был совсем сонный и за первую минуту лекции записал только одно слово. Потом он начал понемногу просыпаться и за вторую минуту лекции записал уже три слова, за третью — пять, за четвёртую — семь, и так далее.
а)
Сколько времени длилась лекция, если в итоге оба студента записали слов поровну?
б)
Сколько слов записал на лекции каждый студент?
7.
Вычислите суммы: сначала вычислите эти суммы для n = 1, 2, 3, 4, 5, а затем найдите закономерность и докажите её по индукции.
а)
1 + 2 + 22 + 23 + … + 2n;
б)
1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + … + n · n!.