МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Вторая вступительная работа (4 октября 2014 года)

В задачах 1--7 требовалось написать только ответ; в задачах 8 и 9 — полное решение.

1.

Алёша задумал число. Он прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число задумал Алёша?

2.

Напишите какие-нибудь 7 различных натуральных чисел, сумма которых равна 29.

3.

Вычеркните из числа 5637230189 пять цифр так, чтобы оставшиеся цифры образовывали как можно большее число.

4.

В очереди в школьный буфет стоят Вика, Соня, Боря, Денис и Алла. Вика стоит впереди Сони, но после Аллы; Боря и Алла не стоят рядом; Денис не находится рядом ни с Аллой, ни с Викой, ни с Борей. В каком порядке стоят ребята?

5.

В корзине лежат 30 грибов. Среди любых 12 из них имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?

6.

Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет (отдал второму), потом второй проиграл половину своих, потом снова первый проиграл половину своих. В результате у первого оказалось 15 монет, а у второго — 33. Сколько монет было у первого пирата до начала игры?

7.

Отметьте на доске 8×8 несколько клеток так, чтобы любая (хоть отмеченная, хоть неотмеченная) клетка граничила по стороне ровно с одной отмеченной клеткой.

8.

Один из пяти братьев испек маме пирог. Андрей сказал: „Это Витя или Толя”. Витя сказал: „Это сделал не я и не Юра”. Толя сказал: „Вы оба шутите”. Дима сказал: „Нет, один из них сказал правду, а другой — нет”. Юра сказал: „Нет Дима, ты не прав”. Мама знает, что трое из ее сыновей всегда говорят правду. Определите, кто испек пирог и про каждое высказывание ответьте, правдиво оно или нет.

9.

За столом сидят 7 гномов, перед каждым — кружка, в некоторые налит эль (но, быть может, не поровну). Первый гном разлил весь свой эль поровну в кружки всем остальным. Затем второй разлил свой эль поровну всем остальным (включая первого), затем третий гном и т.д. до седьмого. Когда и седьмой гном разлил свой эль, у всех оказалось столько же эля, сколько было вначале. Сколько эля в каждой кружке, если всего его 3 литра?