МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 28. Математический аукцион (18 мая 2013 года).

В начале раунда ведущий объясняет условие очередной задачи и объявляет, сколько даётся времени на её решение. Затем начинаются торги.

За право рассказать своё решение у доски необходимо заплатить, и решение рассказывает та команда, которая назначит наибольшую цену в процессе торгов. В начале игры каждая команда обладает капиталом в 20 монет. После того, как вышедший к доске игрок объяснил свой пример, а ведущий и остальные игроки проверили, верен ли он, на доске записывается результат выступления. Затем объявляются новые торги за право рассказать пример получше, и так далее, пока желающих улучшить достигнутое не останется. После этого победителем раунда объявляется команда, построившая наилучший пример. Она получает назад монеты, уплаченные ею за право рассказать этот наилучший пример, и помимо этого 5 монет за победу в раунде.

Если капитал команды не больше 5 монет, команда имеет право делать ставки, превышающие её капитал, но не более 5 монет.

Команда, выигрывшая раунд, имеет право рассказать у доски доказательство того, что её пример — оптимальный. Если доказательство окажется неверным или на его рассказ потребуется больше 10 минут, то с команды снимается 5 монет, если же команда расскажет верное доказательство, она получит 10 монет.

1.

Фигура мамонт бьёт как слон (по диагоналям), но только в трёх направлениях из четырёх (отсутствующее направление может быть разным для разных мамонтов). Какое наибольшее число не бьющих друг друга мамонтов можно расставить на шахматной доске 8×8?

2.

Найдите как можно большее натуральное число, не оканчивающееся нулем, которое при вычеркивании одной (не первой) цифры уменьшается в целое число раз.

3.

Обезьяна хочет узнать, из окна какого самого низкого этажа 15-этажного дома нужно бросить кокосовый орех, чтобы он разбился. У неё есть 2 ореха. Какого наименьшего числа бросков ей заведомо хватит? (Возможно, и при падении с 15-го этажа орех не разбивается. Неразбившийся орех можно бросать снова.)

4.

По рецепту торт имеет вид квадрата 8×8 и содержит ровно 5 розочек (по одной в каких-то пяти клетках). По традиции Винни-Пуху разрешено отрезать любой прямоугольный кусок (с границами по линиям сетки), содержащий ровно одну розочку. Расположите розочки так, чтобы Винни-Пух не мог отрезать себе кусок площади больше N для как можно меньшего N.

5.

Разместить на шахматной доске как можно меньше доминошек так, чтобы их нельзя было сдвинуть. (Сдвигать доминошки за край доски нельзя.)

6.

Разрезать квадрат на 20 меньших квадратов так, чтобы среди них было как можно больше разных.

7.

Какое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на любой горизонтали, вертикали и диагонали находилось четное число фишек?

8.

Отметьте на линейке как можно меньше делений так, чтобы ею можно было отмерить любое расстояние от 1 до 20.

9.

Из квадрата справа можно вырезать прямоугольник, сумма чисел в котором равна n для любого n от 1 до 8, а с суммой 9 — нельзя. Расставьте натуральные числа в квадрате 3×3 так, чтобы можно было вырезать прямоугольники с любой суммой от 1 до N для как можно большего N.