МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ
Кружок 5 класса
Руководитель Дмитрий Александрович Коробицын
2010/2011 учебный год
2010/2011 учебный год
Занятие 0 (18 сентября 2010 года)
Часть А
- 1.
-
На полке в один ряд стоят книги. Энциклопедия стоит пятой слева и
семнадцатой справа. Сколько книг на полке?
Ответ. 21 книга.
- 2.
-
Двое поделили между собой 7 рублей, причем один из них получил на
3 рубля больше другого. Сколько кому досталось?
Ответ. Одному — 2 рубля, другому — 5 рублей.
- 3.
-
Число 2002 "симметричное", т.е. читается одинаково слева-направо и
справа-налево. Напишите следующее за ним симметричное число.
Ответ. 2112.
- 4.
-
Торговец купил корову за 7 долларов, продал ее за 8, потом вновь
купил ту же корову за 9 долларов и опять продал за 10. Какую
прибыль он получил?
Ответ. 2 доллара.
- 5.
-
Напишите наименьшее 10-значное число, все цифры которого
различны.
Ответ. 1023456789.
- 6.
-
В коробке 14 белых и 14 чёрных шариков. Какое минимальное
количество шариков нужно достать из коробки, чтобы среди них
наверняка оказалось 2 черных шарика?
Ответ. 16.
- 7.
-
Ученики одного класса съели 95 конфет, причем каждый мальчик съел
3 конфеты, а каждая девочка — 5 конфет. Сколько в классе
мальчиков и сколько девочек, если всего в классе 25 человек?
Ответ. 15 мальчиков и 10 девочек.
- 8.
-
После битвы со Змеем Горынычем три богатыря заявили:
Добрыня Никитич: "Змея убил Алеша Попович."
Илья Муромец: "Змея убил Добрыня Никитич."
Алеша Попович: "Змея убил я."
Кто убил змея, если только один из богатырей сказал правду?Ответ. Добрыня Никитич. - 9.
-
Два поезда, оба длиной 50 м, движутся навстречу друг другу со
скоростью 45 км/ч. Сколько времени пройдёт от момента, когда
встретятся машинисты, до момента, когда встретятся проводники
последних вагонов?
Ответ. 4 секунды.
- 10.
-
Чему равна сумма 123456789 + 234567891 + 345678912 + … + 912345678?
Ответ. 4999999995.
Часть Б
- 11.
-
Произведение двух чисел умножили на их разность. Могло ли получиться
30?
Решение. Могло. Например: 5·2·(5 − 2) = 30.
- 12.
-
Ваня, задумав некоторое число, умножил его на 2, затем к
результату прибавил 3, после чего получившееся число разделил на
7, а потом, уменьшив частное на 1, сказал, что у него получилось
число 2. Определите, какое число задумал Ваня.
Решение. Будем решать задачу с конца. В итоге у Вани получилось 2, значит, перед вычитанием 1 у него было 3. Аналогично перед делением на 7 у него было 21, перед прибавлением 3 — было 18, а перед умножением на 2 — было 9.Ответ. 9.
- 13.
- Расставьте в квадрате 4×4 одного короля, одного слона и двух ладей так, чтобы они не били друг друга.
- 14.
-
Есть 100 комнат и 100 мальчиков, каждый из которых находится в
одной из комнат. На двери каждой комнаты написано: "Тут ровно один
мальчик". Известно, что среди этих надписей есть ровно три неверные.
Докажите, что в одной из комнат находятся три мальчика.
Решение. Так как из ста надписей ровно 3 неверные, то 97 из них верные. Значит, в этих 97 комнатах по одному мальчику. Тогда в остальных трёх комнатах с неверными надписями всего 3 мальчика. При этом ни в какой из этих трёх комнат не может быть ровно один мальчик, так как иначе надпись на такой комнате будет верной. Трёх мальчиков можно распределить по трём комнатам следующими способами: 3 − 0 − 0, 2 − 1 − 0, 1 − 1 − 1. Последние два варианта не подходят, поэтому в какой-то комнате точно находятся три мальчика.
- 15.
-
Можно ли расположить по кругу числа 1, 2, ..., 8 так, чтобы
сумма любых трёх рядом стоящих чисел была больше 13?
Решение. Нельзя.
Предположим, что такая расстановка возможна. Рассмотрим все возможные тройки подряд стоящих чисел. Каждое число войдёт ровно в три такие тройки, и в каждой тройке сумма чисел должна быть больше 13, а значит, не меньше 14. Всего троек будет 8, тогда общая сумма чисел в них будет не меньше, чем 14·8 = 112. В эту сумму каждое из выписанных чисел входит по три раза. Тогда получается, что сумма чисел от 1 до 8 равна числу, которое не меньше, чем 112⁄3 > 37. Но 1 + 2 + … + 8 = 8·9⁄2 = 36. Противоречие, значит указанной в условии расстановки не существует.