МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 10 класса

Неравенства (13.02.2010)

1.

Даны три действительных числа с ненулевой суммой. Докажите, что сумма трёх попарных произведений их трёх попарных сумм больше суммы их трёх попарных произведений.

2.

Для действительных чисел a и b докажите неравенство

a² + ab + b² ≥ 3(a + b − 1).

3.

a, b, c — длины сторон некоторого треугольника. Докажите неравенство

a³ + b³ + 3abc > c³.

4.

Про положительные числа a, b, c, d известно, что abcd = 1. Докажите, что среди чисел ^{(a2 + 1)}/_b², ^{(b2 + 1)}/_c², ^{(c2 + 1)}/_d², ^{(d2 + 1)}/_a² есть число, не меньшее 2.

5.

a, b и c — положительные числа. Докажите неравенство:

a² + b² + c² ≤ ²/₃(a³ + b³ + c³) + 1.

6.

Произведение положительных чисел x, y и z равно 1. Докажите, что если

¹/_x + ¹/_y + ¹/_z ≥ x + y + z,

то для любого натурального k выполняется неравенство

7.

Докажите, что если 0 < a, b < 1, то

ab(1 − a)(1 − b)	<	1	.
(1 − ab)2		4

8.

Числа x₁, x₂, ..., x_n принадлежат отрезку [a;b], где 0 < a < b. Докажите неравенство