МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 0. Письменная работа (02.10.2004)

1.

Сундук, полный золота, весит 32 пуда, а сундук, заполненный золотом наполовину, весит 17 пудов. Сколько весит пустой сундук?

Ответ Решение

Ответ. 2 пуда

Решение. Сундук и всё золото весят 32 пуда, а сундук и половина золота — 17 пудов. Поэтому другая половина золота весит 32 − 17=15 пудов. Тогда масса всего золота равна 15·2=30 пудов. А, значит, сундук весит 32 − 30=2 пуда.

2.

На поджаривание котлеты с одной стороны уходит 2 минуты. На сковородке помещается 2 котлеты. Можно ли поджарить три котлеты с обеих сторон за 6 минут?

Ответ Решение

Ответ. Да, можно.

Решение. Первые две минуты жарим две котлеты с одной стороны. После этого одну котлету переворачиваем и жарим с другой стороны, а другую убираем со сковороды и вместо неё кладём третью котлету. Прошло четыре минуты. У нас есть одна полностью пожаренная котлета и две котлеты, пожаренные с одной стороны. Пожаренную котлету снимаем и следующие две минуты жарим оставшиеся две котлеты с одной стороны.

3.

В равенстве ** + ***=**** все цифры заменены звездочками. Восстановите равенство, если известно, что каждое из трёх чисел не меняется при перестановке его цифр в обратном порядке.

Ответ Решение

Ответ. 22 + 979=1001

Решение. Двузначное число в сумме с трёхзначным не могут составить больше, чем 99 + 999=1998. Поэтому первая цифра в четырёхзначном числе (а, значит, и последняя) равна единице. Значит, равенство имеет вид ** + ***=1**1.
Если в трёхзначном числе первая цифра — восемь или меньше, то сумма получится меньше тысячи, поскольку 99 + 898=997. Значит, в трёхзначном числе первая цифра — девять, и равенство имеет вид ** + 9*9=1**1.
Очевидно, что последняя цифра двузначного числа равна двум. Получаем 22 + 9*9=1**1.
В четырёхзначном числе оставшиеся цифры должны быть нулями, так как даже 22 + 999=1021, то есть, последнее число — 1001. Отсюда легко находим недостающую цифру.

4.

Крокодилу Гене на День рождения подарили девять конфет и шоколадный торт. Чебурашка предложил ему сыграть в такую игру: они по очереди съедают одну или две конфеты. Начинает крокодил Гена. Тому, кто съедает последнюю конфету, достаётся шоколадный торт. Как должен играть Чебурашка, чтобы гарантированно получить торт?

Решение

Решение. Чебурашка получит торт, если будет играть следующим образом:
Если Гена берёт одну конфету, то Чебурашка следующим ходом должен брать две конфеты, а если Гена берёт две конфеты, то Чебурашка своим следующим ходом берёт одну.
После первой пары ходов (то есть после того, как Гена и Чебурашка сделают по одному ходу) останется 6 конфет. После второй пары ходов останется 3 конфеты. Тогда после этого Гена может съесть только одну или две конфеты, и Чебурашка следующим ходом съест все оставшиеся.