МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Ответ. 22 + 979 = 1001.

Решение. Очевидно, что сумма трёхзначного и двузначного чисел может быть четырёхзначным числом только в случае, если трёхзначное число начинается с девятки, а четырехзначное – с единицы. Таким образом, наше равенство принимает вид ** + 9*9 = 1**1. Теперь посмотрим на последние цифры слагаемых и суммы. Понятно, что единица на конце может возникнуть только если к девятке прибавить два, то есть получается 22 + 9*9 = 1**1. Очевидно также, что сумма равна 1001, так как по условию две цифры между единицами должны быть одинаковы, а число, большее 1100, не может быть получено как сумма трёхзначного и двузначного чисел. Теперь оставшаяся цифра в числе 9*9 определяется однозначно — это семёрка.

Ответ.

Ответ. 1 — Пётр Иванович, 2 — Василий Иванович, 3 — Василий Петрович, 4 — Иван Петрович, 5 — Николай Иванович, 6 — Сергей Николаевич, 7 — Илья Николаевич, 8 — Иван Сергеевич.

Решение. Посмотрим, кем может быть человек номер 1. Вариантов три: его зовут Васлий Иванович, Николай Иванович или Петр Иванович. Людей с отчеством Васильевич в нашем списке нет, а у первого — два сына. Значит, первый — не Василий Иванович.

Выясним, может ли он быть Николаем Ивановичем. Если бы это было так, то третий и четвертый – это Сергей Николаевич и Илья Николаевич. Как зовут четвёртого? Конечно, Сергей, потому что людей с отчеством Ильич нет, а у четвертого есть сын. Итак, четвертый — Сергей Николаевич, а поэтому пятый — Иван Сергеевич (единственный с таким отчеством). Значит, шестой и седьмой должны быть Ивановичами. А это невозможно, поскольку по условию есть только три Ивановича, а у нас их получается четыре — первый, второй, шестой и седьмой. Таким образом, первый не может быть Николаем Ивановичем.

Стало быть, первый — Петр Иванович. Петровичей у нас два — Василий Петрович и Иван Петрович. Так как Васильевичей в списке нет, а у четвертого есть сын, то четвертый — Иван Петрович, а пятый — Василий Петрович. Пятый должен быть Ивановичем. А Ивановичей осталось два — Николай и Василий. Но пятый не может быть Василием, так как у него есть сыновья. Значит, пятый — Николай Иванович, а Василий Иванович — второй. Оставшаяся часть дерева легко восстанавливается из тех же соображений: седьмой — Илья Николаевич, шестой — Сергей Николаевич, восьмой — Илья Сергеевич.

Ответ. 900 метров.

Решение. Пусть O — точка, в которой начинается трудный участок. Рассмотрим момент времени, когда в точке О оказался первый лыжник: пусть второй был в этот момент в точке А. А когда второй лыжник достиг точки О, первый переместился в точку В. Таким образом, за время между этими двумя моментами времени первый лыжник шел по трудному участку и прошел расстояние ОВ, а второй — по легкому, и прошел расстояние АО. Понятно что отношение этих расстояний ОВ:АО=12:8, а разность между ними OB-AO=300. Таким образом, если AО=8х, ВО=12х, то ВО-АО=4х=300. Отсюда ВО=12х=3·4x=900.

Решение. Сначала заметим, что два города не могут находиться на одной широте. В самом деле, если города А и В находятся на одной широте, то никакой из них не является более северным, чем другой. А значит, каждый из них должен быть больше другого, что невозможно.

Рассмотрим теперь произвольный город N. Так как он является большим северным, то он должен быть больше, чем любой из более северных городов. Это означает, что при перемещении с севера на юг численность населения городов возрастает (т.е. чем южнее город, тем он больше). Но это и означает, что все города в этой стране являются малыми южными (в самом деле, каждый город меньше любого более южного города и южнее любого более северного).

Ответ. Могло.

Указание. Изменение значения дроби зависит не от того, НА СКОЛЬКО увеличили числитель и знаменатель, а от того, ВО СКОЛЬКО РАЗ их увеличили. Если числитель увеличили в большее число раз, чем знаменатель, то значение дроби увеличится.

Решение. Главная мысль изложена в указании. Для завершения решения достаточно указать такую дробь. Подойдёт, например, 1/2004. При увеличении числителя на 4 числитель увеличивается в 5 раз, а при увеличении знаменателя на 2004 знаменатель увеличивается всего вдвое:

(1 + 4)/(2004 + 2004) = 5/(2·2004) = (5/2) · (1/2004) = 2,5 · (1/2004) > 1/2004.

Наводящие вопросы. Пусть в Главном здании МГУ n лифтов. Какое наибольшее количество упитанных пассажиров может в них ехать? А наименьшее количество тощих?

Решение. Так как упитанный пассажир занимает более 1/5 лифта, то в одном лифте не могут поместиться более чем четыре упитанных пассажира. Пусть в Главном здании n лифтов. Тогда всего упитанных пассажиров не больше, чем 4n. Так как n/2 лифтов переполнены, а упитанных пассажиров в каждом из них не больше четырёх, то не менее чем 16 пассажиров в каждом переполненном лифте тощие. Итак, тощих пассажиров не меньше, чем n/2·16=8n.

Если бы упитанных пассажиров было ровно 4n, а тощих — ровно 8n, то тощие составляли бы ровно 2/3 от числа всех пассажиров. Если же число упитанных пассажиров меньше 4n или тощих — больше 8n, то доля тощих пассажиров от этого лишь увилчивается.

Ответ.
863 = 973 – 110
923 + 89 = 1012
7203 = 7199 + 4
1044 – 89 = 955

Указание. Поставьте себя на место первого игрока и попытайтесь свести игру к симметричной.

Решение. Побеждает первый. Для этого ему достаточно своим первым ходом разменять монету в 50 копеек на монеты в 20, 10, 5, 3, 2 копейки и на 10 однокопеечных монет. Однокопеечные монеты дальше разменивать невозможно, поэтому их количество на столе не имеет значения. Все же остальные монеты мысленно разобьем на две абсолютно одинаковые группы — в каждой группе по одной монете достоинством 2, 3, 5, 10 и 20 копеек. Второй игрок своим ходом вынужден будет разменять одну из этих монет на более мелкие. После этого первый восстановит «равновесие», разменяв точно так же такую же монету из другой группы. После его хода опять получились две одинаковые группы монет. Второй игрок снова нарушает это «равновесие», а первый снова его восстанавливает. Таким образом, видно, что первый игрок всегда сможет сделать ход (если перед этим ход удалось сделать второму).