Кружок 7 класса

Занятие 0. Письменная работа

1.

Известно, что a + b = 20 и b − c = 10. Найдите a + c.

2.

Трое преподавателей спорили, кто из них самый строгий. Андрей сказал: «Я самый строгий. Даниил не самый строгий». Николай сказал: «Андрей не самый строгий. Я самый строгий». Даниил сказал: «Я самый строгий». Оказалось, что все утверждения самого строгого преподавателя истинны, а все утверждения остальных преподавателей ложны. Так кто же из них самый строгий?

3.

Три одинаковых игральных кубика уложены друг на друга так, как показано на рисунке. Соседние кубики приложены друг к другу одинаковыми гранями. Сколько точек на нижней грани самого нижнего кубика? Ответ объясните.
Примечание: в этой задаче сумма чисел на противоположых гранях кубиков не обязательно равна 7, как это бывает у «классических» игральных кубиков.

4.

В июле некоторого года было четыре понедельника и четыре пятницы. Каким днём недели могло быть пятнадцатое июля этого года?

5.

Есть 20 роз, 9 тюльпанов и 8 астр. Сколько существует способов составить букет из 21 цветка? Ответ объясните.

6.

Рита, Люба и Варя решали задачи. Чтобы дело шло быстрее, они купили конфет и условились, что за каждую решённую задачу девочка, решившая её первой, получает четыре конфеты, решившая второй — две, а решившая последней — одну. Может ли быть, что каждая из них решила все задачи и получила 20 конфет, если одновременных решений не было?

7.

Может ли прямая пересекать все стороны а)10-угольника, б)11-угольника, при этом не проходя через его вершины?

8.

В школе каждый шестиклассник дружил ровно с пятью другими шестиклассниками. Окончив 6 класс, некоторые шестиклассники перешли в другие школы. При этом среди оставшихся семиклассников стало на 26 пар друзей меньше. Теперь каждый из оставшихся шестиклассников (точнее, уже семиклассников) дружит только с тремя другими семиклассниками. Сколько теперь в школе пар друзей среди семиклассников?
Пояснение. Если А дружит с В и С, а В и С не дружат между собой, то это две пары друзей: А–В и А–С. Если А уходит в другую школу, то становится на две пары друзей меньше.