Вступительная работа в 2011 году

1(8кл.) К приходу подружек Юля испекла круглый торт. Но она не знает, сколько подружек придет в гости – две или три. Она хочет заранее разрезать торт на куски так, чтобы независимо от того, сколько придет подружек, можно было разделить весь торт поровну на всех (включая саму Юлю), причем дополнительных разрезов делать не придется. Каково минимальное число кусков, на которое придется разрезать торт?

2(8кл.) Даны семь чисел. Сумма любых трех из них равна 0. Найдите эти числа?

3(8кл.) Илья Муромец, Алеша Попович, Добрыня Никитич и Микула Селянинович поразили стрелами несколько Змеев Горынычей. В каждого из змеев попало ровно по 3 стрелы, причем это были стрелы разных богатырей. Больше всего попаданий 6 - было у Ильи Муромца, а меньше всего - 3 – у Алеши Поповича. Сколько Змеев было подстреляно?

4(8-10кл). Среди жителей города 85% знает русский язык, 80% - украинский, а 10 % - не знает ни того, ни другого языка. Сколько процентов жителей знает оба языка?

5(8-10кл). Сколькими нулями оканчивается число 1*2*……*125?

6(8-10кл). Можно ли разрезать произвольный треугольник на четыре треугольника, любые два из которых не имеют общих сторон (но, возможно, имеют общие участки сторон)?

7(8-10кл). Докажите, что если q=p-1, то (p16+q16) (p8+q8) (p4+q4) (p2+q2)(p+q)= p32-q32.

8(8-10кл). Таблица 20*20 клеток заполнена числами так, что в каждых четырех клетках, которые можно покрыть фигурой, изображенной на рисунке (фигуру можно поворачивать), сумма чисел равна 100. Найдите все числа, заполняющие таблицу.


9(9-10кл). Три хорды окружности пересекаются в одной точке, причем две из них делятся этой точкой пополам. В каком отношении делится третья хорда и почему?

10(9-10кл). Изобразите на координатной плоскости линию заданную уравнением |х-y|+|х+y|=2. Определите длину этой линии.

11(9-10кл). Внутри квадрата ABCD взята точка M так, что треугольник AMD равносторонний. Найдите величину угла AMB.

12(9-10кл). На арену цирка, имеющую форму круга радиуса 7 метров, выбежали 7 клоунов. Обязательно ли, что расстояние между какими-нибудь двумя из них не превосходит 7 метров?

13(9-10кл). Решите систему:


Условия вступительной работы также доступны в формате doc (Microsoft Word, OpenOffice.org Writer).



Наш адрес: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, мехмат, МММФ.
Электронная почта: zaoch.questions@gmail.com