Вступительная работа в 2011 году



Задачи 1-8 для поступления в 8 класс; 3-12 для поступления в 9-10 класс. В скобках указаны классы, для поступления в которые предназначена соответствующая задача.

1(8кл.) В некотором городе каждый одиннадцатый математик - музыкант, а каждый тринадцатый музыкант – математик. Кого в городе больше – музыкантов или математиков?

2. (8кл.) Докажите, что для любого натурального k число делится на 3.

3.(8-10кл). Разрезать квадрат на а) 6 квадратов; б) 7 квадратов.

4.(8-10кл). Леня и Паша спускаются по движущемуся вниз эскалатору, не пропуская ступенек. Паша успевает сделать три шага, пока Леня делает два. Паша, пока спускался, успел сделать 45 шагов, а Леня только 40. Сколько ступенек в видимой части эскалатора?

5(8-10кл). Внутри равнобедренного треугольника АВС ( АВ = ВС , угол В равен 100) отмечена точка М так, что угол МАВ равен 20, угол МВА равен 10. Вычислить угол ВМС.

6(8-10кл). У капитана Смоллетта двое сыновей и несколько дочерей. Если возраст капитана (конечно, ему меньше ста лет) умножить на количество его детей и на длину его шхуны (это целое число футов), то получится 32118. Сколько лет капитану Смоллетту, сколько у него детей и какова длина его корабля?

7(8-10кл). Делится ли на

8(8-10кл). Из бумажного треугольника вырезали параллелограмм. Доказать, что его площадь не превосходит половины площади треугольника.

9(9-10кл). Решить уравнение

10(9-10кл). В выпуклом четырёхугольнике ABCD биссектрисы углов CAD и CBD пересекаются на стороне CD . Докажите, что биссектрисы углов ACB и ADB пересекаются на стороне AB .

11(9-10кл). Квадратный трехчлен с целыми коэффициентами имеет два различных целых корня. Найдите а и b.

12(9-10кл). В выборах в 100-местный парламент участвовали 12 партий. В парламент проходят партии, за которые проголосовало строго больше 5% избирателей. Между прошедшими в парламент партиями места распределяются пропорционально числу набранных ими голосов. После выборов оказалось, что каждый избиратель проголосовал ровно за одну из партий (недействительных бюллетеней, голосов "против всех" и т.п. не было). При этом партия любителей математики набрала 25% голосов. Какое наибольшее количество мест в парламенте она может получить?

Условия вступительной работы также доступны в формате doc (Microsoft Word, OpenOffice.org Writer).



Наш адрес: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, мехмат, МММФ.
Электронная почта: zaoch.questions@gmail.com