МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Архив заочного отделения

Версия для печати

Вступительная работа в 2007 году

  1. Один землекоп может вырыть яму за два часа, другой выроет такую же яму за три часа, третий – за шесть часов. За какое время три землекопа выроют яму, работая вместе?
  2. Известно, что 0 ≤ abc ≤ 1. Докажите, что 1 − (1 − a)(1 − b)(1 − c) ≥ c.
  3. Существует ли выпуклый четырехугольник, в котором каждая из сторон больше каждой из диагоналей?
  4. В строку выписаны подряд все целые числа от 1 до 10000. Сколько из них содержат в своей записи цифру «3»?
  5. Решите систему:

    (не забудьте указать все решения).
  6. Сумма нескольких чисел равна 10. Может ли сумма их квадратов быть меньше 1/1000?
  7. Доля шахматистов среди математиков больше, чем доля шахматистов среди всех людей. Что больше: доля математиков среди шахматистов или доля математиков среди всех людей?
  8. В прямоугольнике ABCD отмечены точка M – середина стороны BC, точка N – середина стороны CD, точка K – точка пересечения отрезков BN и MD (см. рис.). Докажите, что ∠MKB = ∠MAN.
  9. Докажите равенство: 22...n...2 + 33...n...32 = 11...2n...1 (первые два числа содержат n цифр, последнее - 2n цифр).
  10. 20 футбольных команд провели первенство по круговой системе в один круг (это значит, что каждая команда сыграла с каждой по одному разу). Могло ли случиться так, что каждая команда выиграла столько же матчей, сколько и свела вничью?

Условия задач вступительной работы (в формате doc)
Решения задач вступительной работы (в формате pdf)

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS