МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Архив заочного отделения

Версия для печати

Вступительная работа в 2006 году.

Вступительная работа в 2006 году

1.
Даны 2006 чисел. Известно, что сумма любых пяти из них положительна. Может ли сумма всех 2006 чисел быть отрицательна?
Указание. Среди данных 2006 чисел найдётся хотя бы одно положительное число (объясните, почему). Легко доказать, что сумма оставшихся 2005 чисел положительна.
Решение. Обозначим данные числа через a1 , a2 , ... , a2006 , упорядочив их по возрастанию: a1a2 ≤ ... ≤ a2006. Если a2006 — отрицательное число, то и все 2006 чисел — отрицательные и сумма любых пяти из них отрицательна, что противоречит условию. Поэтому a2006 ≥ 0. Но тогда в сумме a1 + a2 + ... + a2006 = (a1 + ... + a5)+(a6 + ... + a10)+ ...+(a2001+ ... +a2005) + (a2006) каждая из скобок неотрицательна. Значит, сумма всех 2006 чисел неотрицательна.

Ответ: Нет.
2.
Решите уравнение x+1 / (y + 1/z)  =  20/7 (x, y, z — целые положительные числа).
Указание. Докажите, что (y + 1/z) > 1. Тогда 0 < 1/(y + 1/z) < 1; кроме того, по условию x + 1/(y + 1/z)  =  2 + 6/7. Отсюда можно найти x.
Решение. Заметим сперва, что если y, z — натуральные (т.е. целые положительные) числа, то y ≥ 1, 1/z > 0, поэтому y + 1/z > 1, откуда 0 < 1/(y + 1/z) < 1. Тогда:

если x = 1, то x + 1/(y + 1/z) < 2. Так как 20/7 > 2, то в этом случае уравнение решений не имеет;

если x ≥ 3, то x + 1/(y + 1/z) ≥ 3. Но 20/7 < 3, поэтому в этом случае уравнение также не имеет решений.

Остается рассмотреть случай x = 2. Равенство 2 + 1/(y + 1/z) = 20/7 равносильно такому: 1/(y + 1/z) = 6/7, или y + 1/z = 7/6. Если y ≥ 2, то и y + 1/z ≥ 2, поэтому единственно возможным значением y является y = 1. В этом случае имеем: 1 + 1/z = 7/6 1/z = 1/6 z = 6 (знаком "" обозначают равносильность уравнений, систем и т.д.). Итак, тройка чисел (x;y;z) = (2; 1; 6) является решением исходного уравнения; других решений в натуральных числах у него нет.

Ответ: (x; y; z) = (2; 1; 6).
3.
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) проведена биссектриса BL. Докажите, что если ∠BAC  =  36°, то AL  =  BC.
Указание. Используйте теорему о сумме углов треугольника, свойства и признаки равнобедренных треугольников.
Решение. Сумма углов ΔABC равна 180°, ∠ABC = ∠ACB и ∠BAC = 36°, поэтому ∠ABC = ∠ACB = 72°. BL — биссектриса ∠ABC,значит, ∠ABL = ∠LBC = 36°. Тогда ∠BAL = ∠ABL, откуда следует, что ΔALB — равнобедренный и AL = BL. ∠BLC — внешний угол ΔABL, поэтому ∠BLC = ∠BAL + ∠ABL = 72°. Таким образом, в ΔBLC равны углы BLC и BCL,значит, он равнобедренный и BL = BC. Из равенств AL = BL и BL = BC вытекает равенство AL = BC, что и требовалось доказать.
4.
Найдите все целочисленные решения уравнения 3x + 5y  =  xy.
Указание. Докажите, что исходное уравнение равносильно такому: y  =  3 + 15/(x – 5). Не забудьте, что y должно быть целым.
Предлагаем вам также указание, дающее подсказку к другому решению. Приведите исходное уравнение к виду (x – 5)(y – 3)  =  15.
Решение. Преобразуем уравнение 3x + 5y = xy к виду 3x = y(x – 5). При x = 5 это равенство не выполняется, поэтому в дальнейшем можно считать, что x ≠ 5. Тогда данное уравнение равносильно уравнению y = 3x/(x – 5), или y = (3(x – 5) + 15)/(x – 5), т.е. y = 3 + 15/(x – 5).
По условию задачи, x и y — целые числа, поэтому дробь 15/(x – 5) должна быть целым числом. Это возможно тогда и только тогда, когда 15 делится на x – 5, т.е. величина x – 5 принимает одно из восьми значений: ±1, ±3, ±5, ±15. Тогда x принимает одно из восьми значений: 20, 10, 8, 6, 4, 2, 0, -10. По каждому из этих значений x найдем соответствующее значение y по полученной ранее формуле y = 3 + 15/(x – 5). Таким образом, мы нашли все 8 пар (x; y), являющихся решениями исходного уравнения.

Приведем также более красивое решение этой задачи, до которого, однако, несколько сложнее додуматься.

3x + 5y = xy xy – 3x = 5y x(y – 3) = 5y x(y – 3) = 5(y – 3) + 15 (x – 5)(y – 3) = 15. Поскольку x, y — целые числа, то и x – 5, y – 3 — целые. Таким образом, необходимо представить число 15 в виде произведения двух целых чисел. Учитывая равенства 15 = 1·15 = 3·5 и то, что в этих равенствах можно менять порядок множителей, а также то, что множители могут быть отрицательными, получаем восемь вариантов: 15 = 1·15 = 15·1 = 3·5 = 5·3 = (–1)·(–15) = (–15) · (–1) = (–3)·(–5) = (–5)·(–3). Другие разложения числа 15 на два целых множителя невозможны.

Для каждого из этих вариантов найдем соответствующие значения x и y. Например, для первого варианта имеем:

x – 5 = 1,
y – 3 = 15

x = 6,
y = 18.

Предлагаем вам получить остальные значения x и y самостоятельно.

Ответ: (x;y) ∈ { (20;4), (10;6), (8;8), (6;18), (4; -12), (2; -2), (0;0), (-10;2)}.
5.
В семье несколько детей. Сумма их возрастов в 8 раз меньше суммы возрастов родителей, но через 4 года она будет в 3 раза меньше суммы возрастов родителей, а еще через 4 года — всего в 2 раза. Сколько детей в семье?
Указание. Если n – число детей, то через 4 года их суммарный возраст увеличится на 4n. Составьте и решите систему уравнений.
Решение. Пусть n — количество детей в семье, x — сумма возрастов детей, y — сумма возрастов родителей. Исходя из условия задачи, составим систему уравнений:

8x = y
3(x + 4n) = y + 8,
2(x + 8n) = y + 16.

Подставляя во второе и третье уравнение значение y = 8x, получим (после очевидных упрощений) систему

5x = 12n – 8,
3x = 8n – 8.

Домножая первое уравнение на 3, а второе на 5, и вычитая первое из второго, найдем: n = 4.

Ответ: 4.
6.
Число a + 1/a — целое. Докажите, что число a² + 1/a² тоже целое.
Указание. Рассмотрите выражение (a + 1/a)².

Замечание. Из того, что (a + 1/a) – целое, не следует, что a  =  ±1 (рассмотрите, например, a  =  2 + √3).
Решение. Заметим, что a² + 1/a² = (a + 1/a)² – 2. Если число a + 1/a — целое, то число (a + 1/a)² – 2 — тоже целое, а значит и a² + 1/a² — целое число, что и требовалось доказать.
7.
Сколько существует целых чисел от 1 до 2006, не делящихся ни на 7, ни на 13?
Указание. Количество чисел, не делящихся ни на 7, ни на 13, равно 2006 – m – n + k, где m – количество чисел, делящихся на 13, n – количество чисел, делящихся на 7, k – количество чисел, делящихся и на 7, и на 13.
Решение. Сначала посчитаем количество чисел от 1 до 2006, делящихся на 7. Ими являются числа вида 7n (где n — натуральное), не превосходящие 2006. Так как 7·286 < 2006, а 7·287 > 2006, то таких чисел ровно 286. Аналогично можно убедиться в том, что существует ровно 154 числа от 1 до 2006, делящихся на 13 (проверьте это). Чтобы получить количество чисел от 1 до 2006, не делящихся ни на 7, ни на 13, надо вычесть из 2006 количество чисел, делящихся на 7, а затем — количество чисел, делящихся на 13. Получится 2006 – 286 – 154 = 1566. Однако при этом те числа, которые делятся одновременно и на 7, и на 13, мы выбросили дважды, поэтому нужно добавить к 1566 количество тех чисел от 1 до 2006, которые делятся и на 7, и на 13. Так как 7 и 13 взаимно просты, то и на 7, и на 13 делятся те и только те числа, которые делятся на 7·13 = 91. Среди чисел от 1 до 2006 существует ровно 22 числа, делящихся на 91 (убедитесь в этом самостоятельно). Тогда искомое количество равно 1566 + 22 = 1588.

Ответ: 1588.
8.
Измерив длины всех сторон и одной из диагоналей некоторого четырехугольника, получили следующие пять чисел: 3, 4, 6, 10, 14. Какое из них равно длине измеренной диагонали?
Указание. Используя неравенство треугольника, проверьте, произведя перебор различных случаев, может ли диагональ быть равна 14. После этого аналогично проверьте, может ли она равняться 10, 6, 4, 3.
Решение. Обозначим данный четырехугольник через ABCD. Пусть BD — измеренная диагональ. Рассмотрим несколько возможных случаев. Пусть сначала BD = 3. Тогда одна из сторон ABCD равна 14; пусть, без ограничения общности, это сторона AB. Для стороны AD остается 3 возможных варианта — либо она равна 4, либо 6, либо 10. Но ни в одном из этих случаев для ΔABD не выполняется неравенство треугольника. Значит, BD ≠ 3. Точно так же отвергается возможность BD = 4. Рассмотрим теперь случай BD = 10. Предположим для определенности, что сторона длины 14 принадлежит ΔCBD. Тогда в ΔABD нет стороны длины 14, и длина каждой из сторон AB и AD равна либо 3, либо 4, либо 6. Но тогда в любом случае AB + AD ≤ 10 = BD, что противоречит неравенству треугольника для ΔABD. Итак, BD ≠ 10. Аналогично доказывается, что BD ≠ 14 (проверьте самостоятельно!). Остается единственная возможность: BD = 6. Легко проверить, что такой вариант возможен: пусть, например, AB = 3, AD = 4, BC = 10, CD = 14. Все неравенства треугольника для ΔABD и ΔCBD выполнены, а значит, четырехугольник ABCD с указанными длинами сторон и диагонали BD существует.

Ответ: 6.
9.
Изобразите на координатной плоскости (x;y) множество всех точек, координаты которых удовлетворяют равенству x² + y²  =  2xy.
Указание. Используйте формулу квадрата разности.
Решение. Выполним несколько равносильных преобразований:

x² + y² = 2xy x² – 2xy + y² = 0 (x – y)² = 0 x – y = 0 x = y.
Таким образом, искомым множеством является прямая x = y
10.
30 волейбольных команд провели первенство по круговой системе в один круг (это значит, что каждая команда сыграла с каждой по одному разу). Оказалось, что каждая команда выиграла хотя бы один матч. Докажите, что найдутся три команды А, Б и В такие, что А выиграла у Б, Б выиграла у В, В выиграла у А (ничьих в волейболе не бывает).
Указание. Команда, одержавшая наименьшее число побед (команда А) по условию выиграла у некоторой команды Б. Методом «от противного» докажите, что найдется команда В, выигравшая у команды А, но проигравшая команде Б.
Решение. Назовем команду, одержавшую наименьшее число побед в турнире, "Островом невезения" (если есть несколько команд с наименьшим числом побед, то выберем любую из них). По условию, существует команда (назовем ее "Дубы-колдуны"), у которой "Остров невезения" выиграл. Докажем, что существует команда, которая выиграла у "Острова невезения", но проиграла "Дубам-колдунам". Рассуждаем от противного: пусть все оставшиеся 28 команд сыграли с "Островом невезения" не лучше, чем с "Дубами-колдунами". Но тогда "Остров невезения" одержал в турнире больше побед, чем "Дубы-колдуны", что противоречит нашему выбору. Поэтому предположение о том, что все оставшиеся 28 команд сыграли с "Островом невезения" не лучше, чем с "Дубами-колдунами", неверно. Значит, существует команда (назовем ее "Шестеро смелых"), которая выиграла у "Острова невезения", но проиграла "Дубам-колдунам". Тогда три команды: "Остров невезения", "Дубы-колдуны" и "Шестеро смелых" удовлетворяют условию задачи.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS