МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Архив заочного отделения

Версия для печати

Вступительная работа в 2005 году.

Вступительная работа в 2005 году

1.
Поезд, двигающийся с постоянной скоростью, проходит мимо столба за 22 с, а через мост длиной 180 м – за 32 с (время прохождения через мост – это время от момента, когда поезд начинает въезжать на мост, до момента, когда последний вагон покидает мост). Найдите длину поезда и его скорость.
Указание. Если длина поезда равна k м, а его скорость – v м/с, то v * 22 = k. Получите самостоятельно еще одно уравнение относительно v и k.
Решение. Пусть длина поезда равна k м, а его скорость – v м/с. За время, за которое поезд проходит мимо столба, он пройдет расстояние, равное длине поезда, т.е. k м. Поэтому

v * 22 = k.

Несложно видеть, что за время, за которое поезд проходит через мост, он пройдет расстояние, равное сумме длин поезда и моста, т.е. (k + 180) м. Значит,

v * 32 = k + 180.

Подставив выражение для k из первого полученного равенства во второе, получим: v * 32 = v * 22 + 180. Решив это уравнение, найдем: v = 18 (м/с). Из формулы v * 22 = k имеем k = 396 (м).

Ответ: 396 м; 18 м/с.
2.
Найдите все значения x, удовлетворяющие неравенству x2/(x − 1) ≥ 0.
Указание. Рассмотрите два случая: x = 0 и x ≠ 0.
Решение. Заметим, что при х = 0 неравенство выполняется. Рассмотрим теперь случай х ≠ 0. В этом случае x2 > 0, поэтому обе части неравенства можно разделить на x2 с сохранением равносильности:

1/(x − 1) ≥ 0.

Поскольку числитель полученной дроби больше нуля, то эта дробь будет положительна тогда и только тогда, когда ее знаменатель положителен (очевидно, равняться нулю эта дробь не может ни при каком x), т.е. x − 1 > 0, что равносильно неравенству x > 1. Учитывая найденное ранее решение x = 0, получаем окончательный ответ.

Ответ: х = 0; x > 1.
3.
30 футбольных команд проводят первенство по круговой системе в один круг (это значит, что каждая команда должна сыграть с каждой по одному разу). Докажите, что в любой момент времени найдутся две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.
Указание. Предположите обратное (найдется момент времени, в который все команды сыграли разное количество матчей) и получите противоречие.
Решение. Решим задачу от противного: предположим, в некоторый момент времени все команды сыграли разное количество матчей. Так как в турнире участвует 30 команд, то каждая команда могла сыграть либо 0, либо 1,..., либо 29 матчей – всего 30 различных возможностей. Следовательно, найдется команда, сыгравшая 0 матчей (если такой команды не найдется, то на 30 команд остается всего 29 возможностей, а это значит, что непременно найдутся хотя бы две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей, что противоречит предположению); точно так же найдется команда, сыгравшая 1 матч, команда, сыгравшая 2 матча и т. д. вплоть до команды, сыгравшей 29 матчей.

Таким образом, найдется команда (назовем ее "Старт"), которая не сыграла еще ни одной игры, а также команда (назовем ее "Финиш"), которая провела 29 игр – т.е. сыграла со всеми командами, в том числе и со "Стартом" – противоречие. Значит, предположение о том, что не найдется двух команд, сыгравших одинаковое количество матчей, неверно, и такие команды обязательно найдутся, что и требовалось доказать.
4.
В квадрате отмечено пять точек. Обязательно ли среди этих точек найдутся две, расстояние между которыми не превышает половины диагонали квадрата?
Указание. Проведите в квадрате средние линии и докажите, что хотя бы в один из четырех получившихся маленьких квадратов попадут две (или более) отмеченных точки.
Решение.
Проведем в квадрате средние линии (рис. 1). Они разобъют его на четыре квадрата со стороной вдвое меньше, чем у исходного. Поскольку отмеченных точек пять, а маленьких квадратов четыре, то хотя бы в один из них попадет две точки (если в каждом из четырех квадратов отмечено не более одной точки, то всего отмеченных точек может быть не более четырех). Рассмотрим две точки, попавшие в один маленький квадрат. Расстояние между ними не превосходит диагонали этого квадрата (доказательство этого факта оставляем в качестве самостоятельного упражнения), которая равна половине диагонали большого квадрата (поскольку сторона маленького квадрата равна половине стороны большого, то и диагональ маленького квадрата равна половине диагонали большого). Таким образом, непременно найдутся две отмеченные точки, расстояние между которыми не превышает половины диагонали большого квадрата.

Ответ: Да.
5.
В треугольнике совпадают центры вписанной и описанной окружностей. Докажите, что этот треугольник равносторонний.
Указание. Обозначим данный треугольник через ABC, а общий центр его вписанной и описанной окружностей – через O. Докажите, используя свойства центров вписанной и описанной окружностей, что все шесть углов ОАВ, ОАC, ОВA, ОBC, ОCА, OCB равны между собой.
Решение.
Пусть дан треугольник АВС, в котором точка О – центр как вписанной, так и описанной окружности (рис. 2). Так как О – центр описанной окружности, то ОА = ОВ = ОС (как радиусы этой окружности), поэтому треугольники ОАВ, ОАС, ОВС – равнобедренные. Значит, ∠ ОАВ = ∠ ОВА, ∠ ОAC = ∠ ОCА, ∠ ОВC = ∠ ОCВ. Точка О – центр вписанной окружности, поэтому она равноудалена от всех сторон треугольника АВС, а значит, является точкой пересечения биссектрис треугольника. Тогда ∠ ОАВ = ∠ ОАC, ∠ ОВA = ∠ ОВC, ∠ ОCА = ∠ ОCB. Учитывая ранее доказанные равенства, получим, что ∠ ОАВ = ∠ ОАC = ∠ ОВA = ∠ ОBC = ∠ ОCА = ∠ ОCB. Значит, в треугольнике АВС все углы при вершинах равны, то есть он равносторонний, что и требовалось доказать.
6.
Верно ли, что любое пятизначное число больше произведения его цифр?
Указание. Пусть a, b, c, d, е – цифры некоторого пятизначного числа N (взятые по порядку, начиная со старшего разряда). Что больше: M = a*10*10*10*10 или a*b*c*d*e? А как соотносятся M и N?
Решение. Представим данное число в виде abcde. Заметим, что a ≠ 0 (иначе число не пятизначное). Но при a > 0 справедлива цепочка неравенств:
a * b * c * d * e < a * 10 * 10 * 10 * 10 = a * 10000 = a0000abcde
(первое неравенство верно в силу того, что b < 10, c < 10, d < 10, e < 10, поскольку это цифры).

Ответ: Да.
7.
Три товарища купили лодку. Первый заплатил треть от суммы, уплаченной двумя другими товарищами, второй – четверть от суммы, уплаченной двумя его товарищами, а третий заплатил 1320 руб. Сколько стоила лодка?
Указание. Обозначьте суммы, уплаченные первым и вторым товарищами, через x и y. Получите из условия два уравнения относительно x и y.
Решение. Пусть первый товарищ заплатил х руб., а второй – y руб. Запишем два уравнения, следующие из условия:

x = (1/3) * (y + 1320);
y = (1/4) * (x + 1320).

Решая систему этих уравнений, находим: x = 600, y = 480. Стоимость лодки равна (x + y + 1320) (руб.) = 2400 (руб.).

Ответ: 2400 руб.
8.
В треугольнике ABC проведены биссектрисы углов A и C. Обозначим основания перпендикуляров, опущенных на эти биссектрисы из точки B, через P и Q соответственно. Докажите, что отрезок PQ параллелен стороне AC.
Указание. Продлите отрезки BP и BQ до пересечения с прямой AC.
Решение.
Продлим отрезок BP до пересечения с прямой AC в точке R (они обязательно пересекутся, так как если BP параллелен AC, то AP и AC перпендикулярны, а такого быть не может, поскольку в этом случае ∠ BAC=2 ∠ PAC = 2 * 90° = 180°). В треугольнике BAR отрезок AP является как биссектрисой, так и высотой, поэтому этот треугольник – равнобедренный (AB = AR), и AP служит в нем еще и медианой: BP = RP (рис. 3).

Аналогично продлив BQ до пересечения с прямой AC в точке S, докажем, что BQ = SQ. Таким образом, отрезок PQ является средней линией треугольника RBS; следовательно, PQ параллелен RS. Но прямые RS и AC совпадают (точки R и S лежат на прямой AC), поэтому отрезок PQ параллелен AC, что и требовалось доказать.
9.
На доске было написано 5 чисел. Сложив каждое из этих чисел с каждым, получили 10 сумм: 0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15. Какие числа были написаны на доске?
Указание. Упорядочим числа, которые были написаны на доске, по возрастанию: пусть abcde. На доске записаны десять попарных сумм этих чисел (a + b, a + c, a + d, a + e, b + с и т.д.). Какой из этих сумм соответствует число 0? число 2? число 4? (Обратите внимание на то, что 4 встречается среди десяти данных сумм дважды.)
Решение. Упорядочим числа, которые были написаны на доске, по возрастанию: пусть abcde. Самая маленькая из десяти попарных сумм – это a + b, откуда a + b = 0. Второй по минимальности суммой будет a + c, поэтому a + c = 2. По условию третья и четвертая по минимальности суммы равны 4. Несложно видеть, что эти суммы – это либо a + d и a + e, либо a + d и b + c. Рассмотрим оба случая:

1) a + d = 4, a + e = 4. В этом случае d = e, что невозможно, поскольку в этом случае каждая из записанных на доске сумм (кроме, возможно, d + e) должна была бы повторяться не менее двух раз.

2) a + d = 4, b + c = 4. Из двух полученных ранее уравнений (a + b = 0, a + c = 2) получаем: b = −a, c = 2 − a; тогда b + c = −a + (2 − a) = 4, откуда a = −1. Дальнейшее решение не представляет труда; находим, что b = 1, c = 3, d = 5. Чтобы найти e, заметим, что самая большая сумма равна d + e, т.е. d + е = 15, откуда e = 15 − d = 10. Легко убедиться в том, что полученные пять чисел действительно образуют десять данных в условии попарных сумм.

Ответ: −1; 1; 3; 5; 10.
10.
Некоторое количество монет разложено в три кучки. Мальчик Леша, обладающий неограниченным запасом монет, может за один ход либо взять из каждой кучки по одной монете (при условии, что во всех трех кучках есть хотя бы по одной монете), либо добавить из своих запасов к любой кучке столько монет, сколько в ней уже есть. Докажите, что за несколько ходов Леша может добиться того, что все три кучки исчезнут.
Указание. Сперва придумайте, как Леше добиться того, чтобы в самой маленькой кучке осталась одна монета. Если в остальных кучках также осталось по одной монете, то задача решена. Если же в них осталось больше, чем по одной монете, то подумайте, как за несколько ходов перейти от кучек, содержащих 1, m и n монет, к кучкам, в которых будет 1, m – 1 и n – 1 монет. Не забудьте рассмотреть и случай, когда в двух кучках оказалось по одной монете, а в третьей – более одной.
Решение. Предложим алгоритм, следуя которому, Леша сможет добиться того, что все три кучки исчезнут.

Вначале Леше следует брать по одной монете из каждой кучки до тех пор, пока в самой маленькой кучке (присвоим ей номер 1, второй по размерам кучке – номер 2, а самой большой – номер 3) не останется одна монета. Далее Леша совершает одну из трех операций:

1) Если в кучках 2 и 3 также осталось по одной монете, то Леша берет по одной монете из каждой кучки, и задача решена.

2) Если в кучках 2 и 3 осталось более одной монеты, то Леша добавляет к первой кучке одну монету, после чего снова забирает из каждой кучки по одной монете. В результате двух этих ходов в первой кучке снова окажется одна монета, а число монет в кучках 2 и 3 уменьшится на 1.

3) Если в кучке 2 осталась 1 монета, а в кучке 3 – более одной монеты, то Леша добавляет к первой кучке одну монету, затем добавляет ко второй кучке одну монету, после чего снова забирает из каждой кучки по одной монете. В результате трех этих ходов в первой и второй кучках снова окажется по одной монете, а число монет в третьей кучке уменьшится на 1.

После этого, в зависимости от получившегося во второй и третьей кучках числа монет, Леша снова проделывает одну из трех описанных операций, и.т.д.

Заметим, что при совершении операции 2 или 3 число монет в тех кучках, в которых находится более одной монеты, уменьшается. Поскольку количество монет в кучках ограничено и не может уменьшаться бесконечно, то рано или поздно во всех кучках окажется по одной монете (0 монет в какой-то из кучек в результате применения операций 2 и 3 получить невозможно), после чего операцией 1 Леша добьется того, что все три кучки исчезнут.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS