МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Архив заочного отделения

Версия для печати

Вступительная работа в 2003 году

1.
Вся семья выпила по одинаковой чашке кофе с молоком, причем Маша выпила 1/4 налитого по всем чашкам молока и 1/6 часть налитого кофе. Сколько человек в семье?
Указание. Под словами по одинаковой чашке подразумевалось то, что все чашки имеют одинаковые объемы, в то время как соотношение молока и кофе в чашках могло различаться! Пусть объем молока, налитого в чашку, равен x, а объем налитого туда кофе — y (x, y > 0). Тогда объем одной чашки равен x + y, а общий объем всех чашек (т.е. объем одной чашки, умноженный на число членов семьи) - 4x + 6y.
Решение. Замечание. Под словами по одинаковой чашке подразумевалось то, что все чашки имеют одинаковые объемы, в то время как соотношение молока и кофе в чашках могло различаться! Пусть объем молока, налитого в машину чашку, равен x, а объем налитого туда кофе - y (x, y > 0). Общий объем жидкости в машиной чашке, таким образом, был равен x+y. Общий же объем жидкости, находившейся во всех чашках, с одной стороны, равен 4x+6y, а с другой - N(x+y), где N - число членов семьи (т.к. объемы всех чашек по условию одинаковы): 4x+6y = N(x+y). Очевидно, что если N ≥ 6, то N(x+y) > 4x+6y, а если N ≤ 4, то N(x+y) < 4x+6y. Поэтому единственный возможный вариант, не противоречащий условию (и реализующийся - при x=y) - это N=5.

Ответ: 5 человек.

2.
Две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника. Обязательно ли эти треугольники равны?
Указание. Обозначим данные треугольники за A1B1C1 и A2B2C2. Если равные углы лежат между соответственно равными сторонами (например, ∠A1 = ∠A2, A1B1 = A2B2, A1C1 = A2C2, то эти треугольники, конечно, равны по известному признаку равенства. Но обязательно ли они будут равны, если равные углы находятся не между соответственно равными сторонами (например, ∠A1 = ∠A2, A1B1 = A2B2, B1C1 = B2C2)?
Решение. Нет, не обязательно. Вот как построить контрпример: Рассморим произвольный равнобедренный треугольник BCD (BC = BD). На прямой CD выберем произвольным образом точку A, лежащую вне отрезка CD. Тогда треугольники ABC и ABD неравны, хотя сторона AB у этих треугольников - общая, BC=BD, ∠BAC = ∠BAD - общий.

Ответ: Не обязательно.

4.
В Хогвартсе 50% первокурсников по зельеваренью учатся без троек, и 30% учатся без троек по трансфигурации. Сколько процентов учеников успевают без троек по обоим предметам, если 40% первокурсников имеют тройки и по зельеваренью и по трансфигурации?
Указание. Несложно вычислить, какая доля первокурсников имеет тройки по зельеваренью, а какая - по транфигурации. С учетом этого можно уже найти, какая их доля имеет тройки только по зельеваренью, а какая - только по транфигурации. Теперь получить ответ уже совсем легко.
Решение. 50% первокурсников имеют тройки по зельеваренью, а 70% - по транфигурации. Поскольку 40% учеников имеют тройки по обоим предметам, то, следовательно, 50% - 40% = 10% первокурсников имеют тройки только по зельеваренью, а 70% - 40% = 30% - только по транфигурации. Вычитая из 100% доли учеников, имеющих тройки только по зельеваренью, только по транфигурации и по обоим предметам одновременно, получим, что совсем без троек учатся 100% - 10% - 30% - 40% = 20% первокурсников Хогвартса.

Ответ: 20%.

5.
Докажите, что если q = p – 1, то (p16 + q16)(p8 + q8)(p4 + q4)(p2 + q2)(p + q) = p32q32.
Указание. Разложите правую часть данного равенства на множители.
Решение. Из условия имеем: p - q = 1. Поэтому p32 - q32 = (p16 + q16)(p16 - q16) = (p16 + q16)(p8 + q8)(p8 - q8) = (p16 + q16)(p8 + q8) (p4 + q4)(p4 - q4) = (p16 + q16)(p8 + q8) (p4 + q4)(p2 + q2)(p2 - q2) = (p16 + q16)(p8 + q8) (p4 + q4)(p2 + q2)(p + q)(p - q) = (p16 + q16)(p8 + q8) (p4 + q4)(p2 + q2)(p + q), что и требовалось доказать.
6.
В прямоугольной таблице расставлены числа так, что сумма чисел любой строки, как и любого столбца, равна 1. Докажите, что таблица квадратная.
Указание. Чему равна сумма всех чисел в таблице, если в ней m строк? А чему, с другой стороны, равна эта же сумма, если в таблице n столбцов?
Решение. Пусть таблица имеет m строк и n столбцов. Тогда, с одной стороны, сумма чисел во всей таблице равна m (т.к. таблица состоит из m строк, а сумма чисел в каждой строке равна 1), а, с другой стороны, эта сумма равна n (аналогичное рассуждение для столбцов), откуда заключаем, что m=n, т.е. таблица квадратная, что и требовалось доказать.
7.
На какое наибольшее число частей (не обязательно равных) можно разрезать круглый блин четырьмя прямыми разрезами?
Указание. Найдите, на какое максимальное число может увеличиться количество имеющихся частей после проведения n-й прямой. Указание: если n-я прямая пересекает внутри блина все уже проведенные прямые, то она имеет n - 1 точку пересечения с этими прямыми и две точки пересечения с границей блина. Покажите, что этими прямыми та часть n-й прямой, которая находится внутри блина, делится на n отрезков.
Решение. Заметим, что прямая, пересекающая выпуклую фигуру, делит ее на две также выпуклых части (выпуклость необходима для того, чтобы утверждать, что каждая часть делится прямой, проходящей через нее, именно на две части). Предположим, уже проведен n - 1 разрез. Проведем n-й разрез. Та часть n-й прямой, которая находится внутри блина, делится точками пересечения с предыдущими прямыми и с границей блина не более, чем на n отрезков (т.к. этих точек - максимум n + 1: 2 точки пересечения с границей блина и не более, чем n - 1 точка пересечения с остальными прямыми), что соотвествует тому, что эта прямая разделила не более, чем n из имевшихся частей на две. Таким образом, общее число частей возросло максимум на n. Поскольку вначале была одна часть, то число частей после четырех разрезов не будет превышать 1 + 1 + 2 + 3 + 4 = 11. 11 частей можно получить, проведя произвольные 4 прямые общего положения, каждая из которых пересекает все остальные внутри блина (см. рис.).

Ответ: 11.

8.
Что больше: 44...45 · 66...65 или 33...34 · 88...87 (каждое из четырех чисел 100-значное)?
Указание. Пусть A = 111...11 (100 единиц). Тогда: 444...45 = 4A + 1. Выразите подобным образом три остальных числа.
Решение. Введем обозначение: A = 111...11 (число в правой части равенства состоит из 100 единиц). Тогда: 444...445 = 444...44+1 = 4A + 1. Аналогично: 666...665 = 666...66 - 1 = 6A - 1. 333...334 = 333...33 + 1 = 3A + 1. 888...887 = 888...88 - 1 = 8A - 1. Вычислим два числа, которые требуется сравнить: M = (4A + 1)(6A - 1) = 24A2 + 2A - 1; N = (3A + 1)(8A - 1) = 24A2 + 5A - 1, откуда легко видеть, что второе число больше, т.к. N - M = 3A > 0.

Ответ: Второе число больше.

9.
Существуют ли два последовательных натуральных числа, у каждого из которых сумма цифр делится на 7?
Указание. Если число увеличивается на 1, то сумма его цифр совсем не обязательно тоже увеличится на 1.
Решение. Да, например: 69999 и 70000. Общая формула для поиска пар таких чисел (a ; b) выглядит следующим образом:
a = < a1a2...an999...99 > (здесь угловыми скобками обозначена десятичная запись числа),
b = a + 1 = < a1a2...(an+1)000...00 >, где: an не равно 9; число девяток в правой части числа a и нулей в правой части числа b составляет 7k + 4, k = 0; 1; 2; ...; a1 + a2 + ... + an = 7m + 6, m = 0; 1; 2;...

Ответ: Да.

10.
На планете «Куб» (имеющей форму куба) каждой гранью владеет рыцарь (который всегда говорит правду) или лжец (который всегда лжет). Каждый из них утверждает, что большая часть его соседей - лжецы. Сколько рыцарей и сколько лжецов владеют гранями планеты?
Указание. Несложно понять, что случай, когда планету населяют одни лжецы, невозможен. Поэтому хотя бы одна грань принадлежит рыцарю. Возьмите такую грань, на которой обитает рыцарь, и посмотрите, сколько, согласно условию, соседей - лжецов может иметь этот рыцарь (здесь придется рассмотреть несколько случаев).
Решение. Из условия следует, что у каждого рыцаря по крайней мере трое из четверых соседей - лжецы (т.к. утверждение большая часть моих соседей - лжецы, вложенное в его уста, является истинным), а у каждого лжеца - не более двух соседей-лжецов. Случай, когда планету населяют одни лжецы, невозможен, т.к. тогда у каждого лжеца было бы по 4 соседа-лжеца. Поэтому на планете обитает хотя бы один рыцарь. Присвоим грани, на которой он живет, номер 1; граням, соседним с ней - номера 2, 3, 4, 5 (грани с номерами 2 и 4 лежат друг против друга, как и грани с номерами 3, 5). Грань, противолежащую грани 1, обозначим за грань номер 6. У рыцаря, живущего на грани 1, по крайней мере 3 соседа-лжеца. Для определенности предположим, что они живут на гранях 2, 3, 4. Гранью 5 может владеть как рыцарь, так и лжец. Рассмотрим оба этих случая:
  1. Гранью 5 владеет рыцарь. Если гранью 6 владеет рыцарь, то тогда у рыцаря с грани 5 имеется только 2 соседа-лжеца (с граней 2, 4; ведь грани 1, 6 принадлежат рыцарям) - противоречие. Если же грань 6 принадлежит лжецу, то у него имеется 3 соседа-лжеца (обитатели граней 2, 3, 4), что также противоречит условию. Поэтому данный случай невозможен.
  2. Гранью 5 владеет лжец. Тогда на грани 6 живет рыцарь, ибо у обитателя этой грани все четыре соседа (с граней 2, 3, 4, 5) - лжецы. Итак, две противолежащие грани (1, 6) принадлежат рыцарям, остальные четыре - лжецам. Нетрудно убедиться, что этот вариант не противоречит условию.

Ответ: Рыцарей - 2; лжецов - 4.


Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS