МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружки 9-11 классов

2016/2017 учебный год

Версия для печати

Кружок для 9-11 классов

Руководитель Максим Амирьянович Лимонов

На этом кружке участники большую часть времени самостоятельно решают задачи и обсуждают решения с преподавателем.

Занятия кружка проходят по субботам с 16:00 до 20:00 в ауд. 1302 Главного здания МГУ.
Перед приходом необходимо зарегистрироваться.

Список задач для оценки уровня подготовки

Следующий набор задач призван заранее ознакомить учащегося с типами и сложностью задач на кружке, чтобы не терять Ваше время. Если Вы не можете решить большинство из этих задач, то, скорее всего, этот кружок Вам не подходит.
1.
Найдите все многочлены P(x), которые удовлетворяют равенству: P(x)=1/2·(P(x − 1) + P(x + 1)).
2.
Вневписанная окружность треугольника ABC касается его стороны BC в точке P, а продолжений сторон AB и AC — в точках Q и R соответственно. Докажите, что если середина PQ лежит на описанной окружности треугольника ABC, то и середина PR тоже лежит на этой описанной окружности.
3.
На координатной плоскости рисуются всевозможные несамопересекающиеся ломаные, все вершины которых имеют целые координаты, а звенья параллельны координатным осям. Обозначим через Ln число таких ломаных, выходящих из начала координат и имеющих длину n. Докажите, что 4·2n − 4≤ Ln≤ 4·3n − 1.
4.
На сторонах AB и BC выбраны точки C0 и A0 от соответственно. Докажите, что AC0=CA0 тогда и только тогда, когда точки A0, C0, B, B1 лежат на одной окружности, где B1 — середина дуги CBA описанной окружности треугольника ABC.
5.
На сторонах AB и BC выбраны точки C0 и A0 соответственно. Докажите, что AC0 + CA0=AC тогда и только тогда, когда точки A0, C0, B, I лежат на одной окружности, где I — центр вписанной окружности треугольника ABC.
6.
В один из дней года оказалось, что каждый житель города сделал не более одного звонка по телефону. Докажите, что население города можно разбитьне более, чем на три группы так, чтобы жители, входящие в одну группу, не разговаривали в этот деньмежду собой по телефону.
7.
Каждый следующий член последовательности есть сумма квадратов цифр предыдущего. Докажите, что последовательность периодична.
8.
При каких натуральных n многочлен x2n + xn + 1 делится на x² + x + 1?
9.
Рациональные числа a и b удовлетворяют равенству $$ a^3b+ab^3+2a^2b^2+2a+2b+1=0. $$ Докажите, что число 1 − ab является квадратом рационального числа.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS