МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Руководитель Евгений Александрович Асташов
2016/2017 учебный год

Версия для печати

Занятие 18 (18 марта 2017 года). Найди крайнего

1.
Сколькими способами можно расставить в ряд натуральные числа от 1 до 100 так, чтобы соседние числа отличались не более чем на единицу?
2.
Зайчиха купила для своих семерых зайчат семь барабанов разных размеров и семь пар палочек разной длины. Если зайчонок видит, что у него и барабан больше, и палочки длиннее, чем у кого-то из братьев, он начинает барабанить. Какое наибольшее число зайчат может начать барабанить?
3.
а) По кругу выписано несколько натуральных чисел, каждое из которых не превосходит одного из соседних с ним. Докажите, что среди этих чисел точно есть хотя бы два равных. б) По кругу выписано несколько чисел, каждое из которых равно среднему арифметическому двух соседних с ним. Докажите, что все эти числа равны между собой. (Средним арифметическим двух чисел a и b называется половина их суммы, то есть число (a + b) : 2.)
4.
На шахматной доске стоит несколько а) ладей; б) ферзей. Обязательно ли найдется фигура, бьющая не более двух других? (Бить «сквозь» другие фигуры ладьи и ферзи не могут.)
5.
Восемь рыболовов ловили рыбу. Известно, что никакие двое не поймали рыб поровну и что каждый поймал хотя бы одну рыбу. а) Какое наименьшее число рыб они могли поймать все вместе при этих условиях? б) Докажите, что какие-то двое из них поймали больше, чем какие-то пятеро, если все вместе они поймали 37 рыб.
6.
В стране есть несколько городов. Сумасшедший путешественник едет из города A в самый далёкий от него город B, затем — в самый далёкий от B город C, и так далее. Докажите, что если город С не совпадает с городом А, то путешественник никогда не вернётся обратно в город A.
7.
25 астрономов на двадцати пяти разных планетах наблюдают друг за другом при помощи телескопов, причём каждый наблюдает за ближайшим к нему (все расстояния между планетами различны). Докажите, что: а) есть две планеты, астрономы на которых наблюдают друг за другом; б) хотя бы за одним астрономом никто не наблюдает.
8.
В клетках доски 8×8 расставлены числа 1, 2, ..., 64. Докажите, что найдется пара соседних по стороне клеток, числа в которых отличаются не менее чем на 5.
9.
B стаде 101 корова. Если увести любую одну, то оставшихся коров можно разделить на два стада по 50 коров в каждом, так что суммарный вес коров первого стада равен суммарному весу коров другого стада. Известно, что каждая корова весит целое число килограммов. Докажите, что все коровы весят одинаково.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS