Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 15 (14 февраля 2015 года). Поиграем?

Выясните, у кого из игроков есть выигрышная стратегия, и в чём она состоит.

1.

Имеются а) две; б) три кучи по 20 камней. За ход разрешается взять любое число каменей, но только из одной кучи. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

2.

На столе лежит 20 конфет. За ход можно взять 1 или 3 конфеты. Проигрывает тот, кому нечего взять.

3.

В куче 24 спички. Играющие по очереди могут взять от одной до четырёх спичек. Кто не может сделать ход, проигрывает.

4.

На столе лежат две кучки спичек: в одной 15, в другой — 12. За один ход можно взять любое число спичек (ненулевое) из одной из кучек (по выбору игрока). Кто не может сделать ход (спичек не осталось), проигрывает.

5.

Двое по очереди ставят ладей на шахматную доску так, чтобы ладьи не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

6.

Двое по очереди ломают шоколадку а) 6×8; б) 7×9. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход.

7.

В коробке лежат 30 спичек. Двое по очереди берут не более половины имеющих на данный момент в коробке спичек. Кто не может сделать ход — проиграл.

8.

На аукционе продают 3 картины. У каждого из двух покупателей по три монеты. Сначала продают первую картину. Покупатели по очереди называют цену, каждый раз выше предыдущей, либо кто-то говорит «отказываюсь от торга». В этом случае картина достаётся сопернику (а названное последний раз этим соперником количество монет уходит устроителям аукциона; если один покупатель отказался от торга до того, как была названа первая цена, то второй покупатель получает картину бесплатно). Далее продаётся следующая картина (очерёдность ходов продолжает соблюдаться, отказ от торга — не ход), потом последняя. Побеждает тот, кто купил больше картин. Кто победит при правильной игре?

9.

Можно ли квадрат разрезать на 9 квадратов и раскрасить их так, чтобы получились 1 белый, 3 серых и 5 черных квадратов, причем одноцветные квадраты были бы равны, а разноцветные — не равны?