Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 11 (29 ноября 2014). Рыцари и Лжецы

На Острове Рыцарей и Лжецов живут только Рыцари, всегда говорящие чистую правду, и Лжецы, которые всегда лгут.

1.

Придумайте такой вопрос, что (вне зависимости от ситуации, в которой он будет задан)

а)

все островитяне ответят «да»;

б)

все островитяне ответят «нет»;

в)*

лжецы ответят «нет», а рыцари — «да».

2.

На остров рыцарей и лжецов приехал путешественник и нанял себе проводника. Однажды, увидев вдали туземца, путешественник сказал проводнику: «Пойди и спроси у того человека: рыцарь он или лжец». Вскоре проводник вернулся и сказал: «Этот человек сказал, что он лжец». Кем был проводник, рыцарем или лжецом?

3.

Однажды в четверг после дождя между островитянами Тимом и Томом произошел следующий диалог: — Ты можешь сказать, что я рыцарь, — гордо заявил Тим. — Ты можешь сказать, что я лжец, — грустно ответил ему Том. Кем являются Тим и Том?

4.

На Острове по соседству кроме Лжецов и Рыцарей живут Хитрецы и Переменчики. Лжец всегда лжёт, Рыцарь всегда говорит правду, Хитрец говорит правду или ложь, когда захочет, а Переменчик говорит то правду, то ложь попеременно. Путешественник встретил а) Лжеца, Рыцаря и Переменчика; б) Лжеца, Хитреца и Переменчика. Все трое встреченных им знают друг друга. Путешественнику же известно, что перед ним указанные трое персонажей, но он не знает, кто из них кто. Сможет ли он, задавая им вопросы, выяснить это?

5.

Дом представляет собой куб 3×3×3, в котором каждый кубик 1×1×1 — квартира. У каждой квартиры один хозяин — либо рыцарь, либо лжец. Однажды все жители дома заявили: «Среди моих соседей ровно половина — лжецы».

а)

Кто живёт в углах куба?

б)

Сколько может быть лжецов среди хозяев дома?

в)*

Решите пункт б) для дома 5×5×5.
(Два жителя считаются соседями, если их квартиры-кубики имеют общую грань.)

6.

В комнате собрались 12 аборигенов; некоторые из них честные, то есть всегда говорят правду, остальные всегда лгут. «Здесь нет ни одного честного человека», — сказал первый. «Здесь не более одного честного человека», — сказал второй. Третий сказал, что честных не более двух, четвёртый — что не более трёх, и так далее до двенадцатого, который сказал, что честных людей не более одиннадцати. Сколько Рыцарей в комнате на самом деле?

7.

В некотором государстве живут граждане трёх типов: а) дурак считает всех дураками, а себя умным; б) скромный умный про всех знает правильно, а себя считает дураком; в) уверенный умный про всех знает правильно, а себя считает умным. В думе 200 депутатов. Премьер-министр провёл анонимный опрос думцев: сколько умных в этом зале сейчас находится? По данным анкет он не смог узнать количество умных. Но тут из поездки вернулся единственный депутат, не участвовавший в опросе. Он заполнил анкету про всю думу, включая себя, и прочитав её, премьер-министр всё понял. Сколько умных могло быть в думе (включая путешественника)?

8.

Все жители острова либо рыцари и говорят только правду, либо лжецы и всегда лгут. Путешественник встретил пятерых островитян. На его вопрос: «Сколько среди вас рыцарей?» первый ответил: «Ни одного!», а двое других ответили: «Один». Что ответили остальные?

9.

Очутившись на Острове, Вы оказались на распутье (раздвоение дороги), и не знаете, куда идти. Навстречу идёт человек — Вы не знаете, Рыцарь он или лжец. Вы можете задать один вопрос. Какой вопрос надо задать так, чтобы узнать, по какой дороге идти?