Кружок 7 класса

Занятие 9. Математическое домино.

Правила игры

Математическое домино — это командное соревнование по решению задач. Играется командами по 3–5 человек. (В каждой аудитории есть комплекты для 7 команд.)

Задачи напечатаны на карточках-домино. Изначально все карточки лежат на столе жюри задачами вниз, то есть участники могут видеть только изображения костей домино, но не текст задач. У каждой команды — свой набор листочков с условиями задач. Сами задачи у всех одинаковые, но команды получают задачи независимо друг от друга. Выигрывает команда, набравшая наибольшее количество баллов.

Решение задач. В начале игры к столу жюри подходят по одному представителю команд и берут по две задачи. У команды есть 2 попытки сдать ответ задачи. Если правильный ответ дан с первой попытки, то команда получает количество баллов, равное сумме очков доминошки, на которой написана задача. Если правильный ответ дан со второй попытки, то команда получает количество баллов, равное большему числу из написанных на доминошке. Если со второй попытки снова дан неправильный ответ, то у команды вычитается количество баллов, равное меньшему числу из написанных на доминошке.

Сдавая ответ на задачу (неважно, какая попытка и верен ли ответ), команда может взять условие любой другой задачи из тех, которые она еще не решала. Таким образом, в каждый момент времени у команды на руках может быть несколько задач. Особая ситуация с карточкой 0:0. На решение этой задачи дается всего одна попытка. Но за правильный ответ дается 10 баллов.

Окончание игры. Игра заканчивается, когда у команды не осталось задач, которые она еще не решала, или истекло время, отведенное на игру.

Задачи

(0:0)

Найти хоть одно решение ребуса:

ДЕСЯТЬ : ДВА = ПЯТЬ.

(0:1)

Тане исполнилось 16 лет 19 месяцев назад, а Мише исполнится 19 лет через 16 месяцев. Кто из них старше и на сколько?

(0:2)

Собираясь в школу, Миша нашел под подушкой, под диваном, на столе и под столом все необходимое: тетрадь, шпаргалку, плеер и кроссовки. Под столом он нашел не тетрадь и не плеер. Мишины шпаргалки никогда не валяются на полу. Плеера не оказалось ни на столе, ни под диваном. Что где лежало, если в каждом из мест находился только один предмет?

(0:3)

Назовём натуральное число замечательным, если оно самое маленькое среди натуральных чисел с таким же, как у него, произведением цифр. Найдите 10-ое по счёту замечательное число.

(0:4)

В саду у Ани и Вити росло 2013 розовых кустов. Витя полил 1/3 всех кустов, а Аня полила 1/11 всех кустов. При этом оказалось, что ровно три куста, самые красивые, были политы и Аней, и Витей. Сколько розовых кустов остались не политыми?

(0:5)

Приведите пример 8 натуральных чисел таких, что их сумма равна их произведению.

(0:6)

Найдите какое-нибудь 7-значное число, делящееся на сумму всех своих цифр и такое, что все его цифры различны.

(1:1)

В сенате Продажного королевства 100 сенаторов. Известно, что среди любых пяти сенаторов найдется по крайней мере один продажный. Сколько продажных сенаторов может быть в сенате? Укажите все варианты.

(1:2)

На День рождения к Андрею пришли Вася, Глеб, Даша, Митя, Петя, Соня и Тимур. Покажите, как восьмерых ребят можно рассадить за круглый стол, чтобы у любых двух, сидящих рядом, в именах встречались одинаковые буквы.

(1:3)

Расставьте в равенстве 2222 = 55555 знаки арифметических действий (без использования скобок) так, чтобы оно стало верным.

(1:4)

Первую половину пути мотоцикл проехал со скоростью, на 40% меньшей, чем было запланировано. Сможет ли он добраться до пункта назначения вовремя, если увеличит свою скорость (по сравнению с запланированной)? Если да, во сколько раз ему нужно увеличить скорость?

(1:5)

Положите на некоторые клетки квадратной доски 4×4 стопкой золотые монеты, а на остальные клетки — серебряные, чтобы в каждом квадрате 3×3 серебряных монет было больше, чем золотых, а на всей доске золотых было больше, чем серебряных.

(1:6)

После футбольного матча Вася сказал: «Я забил в этом матче мячей на 1 больше, чем все остальные вместе взятые». Петя: «Я забил в этом матче мячей на 2 больше, чем все остальные вместе взятые. Олег: «В первом тайме мячей забили в два раза меньше, чем во втором». Дима: «Я забил ровно половину мячей от забитых в первом тайме». Какое наибольшее количество высказываний могло оказаться правдой?

(2:2)

Есть 19 гирек массами 1 г, 2 г, ..., 19 г, из которых 9 железных, 9 бронзовых и одна золотая. Известно, что масса всех бронзовых гирек на 90 г меньше, чем масса всех железных. Найдите массу золотой гирьки.

(2:3)

Друг с другом последовательно соединены 5 зубчатых колёс. У первого 40 зубьев, у второго — 16, у третьего — 12, у четвёртого — 15, а у пятого зубчатого колеса 10 зубьев. Размеры зубьев одинаковы. Первое колесо совершило полный оборот. Сколько оборотов сделало пятое колесо?

(2:4)

Найдите последнюю цифру числа 1! + 2! + 3! + ... + 2013!

(2:5)

В противоположных углах прямоугольной комнаты положили два одинаковых прямоугольных ковра. Площадь их общей части оказалась равна 5 м². Затем оба ковра развернули в своих углах на 90 градусов. Площадь общей части стала равна 2 м². Найдите, на сколько длина ковра больше его ширины, если длина комнаты больше ширины комнаты на 1,5 м?

(2:6)

Сложили числа 9; 99; 999; ...; 99...99 (20 девяток). Сколько единиц в записи получившейся суммы?

(3:3)

Десять человек решили сдать в общую кассу по 30 форинтов. К сожалению, у них были только купюры по 20 и 50 форинтов. Тем не менее, каждый отдал ровно по 30 форинтов. Какая наименьшая сумма денег могла быть у всех десяти вместе?

(3:4)

Приведите пример таких трёх подряд идущих трёхзначных чисел, что между цифрами каждого из них можно расставить некоторым образом знаки арифметических действий (+, −, ×, :) так, чтобы все три полученных числовых выражения оказались равными. Запрещается ставить минус перед первой цифрой и использовать скобки.

(3:5)

Натуральные числа расставлены в бесконечной таблице по спирали так, как указано в таблице ниже. В какой клетке (считая от числа 1) будет находится число 2013? (например, число 10 находится на одну строчку выше и на два 2 столбца правее).

…	…	…	…	…
…	7	8	9	10
…	6	1	2	11
^	5	4	3	12
^	<	<	14	13

(3:6)

Нарисуйте многоугольник и точку O внутри его так, чтобы ни одна сторона не была видна из нее полностью.

(4:4)

Сумма нескольких натуральных чисел равна 20. Какому максимальному числу может равняться их произведение?

(4:5)

Расставьте 12 ферзей на шахматной доске 8×8 так, чтобы каждый бил ровно трех других.

(4:6)

У Васи есть клетчатый прямоугольник 5×5. Он разрезал его на три многоугольника по линиям сетки. Какой наибольший суммарный периметр он мог при этом получить? Приведите пример.

(5:5)

В большую шкатулку положили 10 шкатулок поменьше. В каждую из вложенных шкатулок либо положили 10 еще поменьше, либо ничего не положили. В каждую из меньших опять положили или 10, или ни одной, и т.д. После этого оказалось ровно 2013 шкатулок с содержимым. Сколько шкатулок оказалось пустыми?

(5:6)

Целая часть числа [X] — это наибольшее целое число, не превосходящее X. Известно, что [A] = 2013, а [B] = 3. Сколько различных значений может принимать выражение [AB]?

(6:6)

Вася и Петя играют в одну карточную игру. У Васи есть колода из 52 карт, и он вытаскивает по очереди 4 произвольные карты из этой колоды. Сколько есть способов выдать Пете карты так, чтобы среди них были три одинакового достоинства?

Ответы

(0:0)

385024 : 376 = 1024

(0:1)

Миша старше на месяц.

(0:2)

Тетрадь была под диваном, шпаргалка — на столе, плеер — под подушкой, кроссовки — под столом.

(0:3)

10.

(0:4)

1162 куста.

(0:5)

Например, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 8.

(0:6)

Например, 1024675. Годится любое число с суммой цифр 25 и оканчивающееся на 25 или 75. Есть и другие примеры!

(1:1)

100, 99, 98, 97, 96.

(1:2)

Андрей — Глеб — Петя — Тимур — Митя — Соня — Вася — Даша — Андрей.

(1:3)

Например, 2·2 − 2 : 2 = 5 − 5 : 5 − 5 : 5 или 22 : 22 = 55 : 5 − 5 − 5. Или так: 2 : 2 + 2 + 2 = 5 + 5 − 5 + 5 − 5:

(1:4)

В 3 раза.

(1:5)

Положим на одну из клеток центрального квадрата 2×2 стопку из девяти серебряных монет, а на остальные клетки доски — по одной золотой монете. Тогда в каждом квадрате 3×3 будет 9 серебряных монет и 8 золотых, а на всей доске — 15 золотых и 9 серебряных.

(1:6)

3.

(2:2)

10 г.

(2:3)

4.

(2:4)

3.

(2:5)

На 1.

(2:6)

18.

(3:3)

560 форинтов.

(3:4)

Проверять. Например, 514, 515, 516. Действительно, 5 + 1 + 4 = 5 · 1 + 5 = 5 − 1 + 6 = 10.

(3:5)

На 22 строки выше и на 10 столбцов правее.

(3:6)

Проверять.

(4:4)

1458 = 2·3⁶

(4:5)

Например, _

F	F	_	_	_	_	_	_
F	_	_	_	_	_	_	_
_	_	_	F	_	_	_	_
_	_	F	F	_	_	_	_
_	_	_	_	_	_	F	F
_	_	_	_	_	_	_	F
_	_	_	_	F	_	_	_
_	_	_	_	F	F	_	_

(4:6)

56. Например:

1	2	1	3	1
1	2	1	3	1
1	2	1	3	1
1	2	1	3	1
1	1	1	1	1

(5:5)

18118

(5:6)

2017.

(6:6)

4! · С₄³ · 13 · 48 + 4! · 13 = 60216.