Кружок 7 класса

Занятие 10. Метод крайнего.

1.

На шахматной доске стоит несколько ладей. Докажите, что какая-то из ладей бьет не более двух других.

2.

На каждой из 2013 планет, расстояния между которыми попарно различны, находится по астроному, который наблюдает ближайшую к нему планету. Докажите, что некоторую планету никто не наблюдает.

3.

7 грибников собрали вместе 59 грибов, причем никакие двое не собрали поровну. Докажите, что какие-то три грибника собрали вместе не менее 33 грибов.

4.

В каждой клетке шахматной доски записано число. Оказалось, что любое число равно среднему арифметическому чисел, записанных в соседних (по стороне) клетках. Докажите, что все числа равны.

5.

Докажите, что у любого многогранника есть две грани с одинаковым числом сторон.

6.

На тарелке лежат 9 разных кусочков сыра. Всегда ли можно разрезать один из них на две части так, чтобы полученные 10 кусочков делились бы на две порции равной массы по 5 кусочков в каждой?

7.

а)

Можно ли натуральные числа от 1 до 99 выписать в строчку так, чтобы модуль разности любых двух соседних чисел была не меньше 50?

б)

При каком наименьшем n числа от 1 до n можно выписать в строчку так, чтобы модуль разности любых двух соседних чисел была не меньше 50?

8.

По окружности расположены 6 чисел, при этом каждое число равно модулю разности двух следующих за ним по часовой стрелке. Сумма всех чисел равна единице. Найдите эти числа.

9.

В течение рабочего дня каждый депутат посетил заседание парламента. Все депутаты приходили и уходили в разное время, но никто из них, уходя, больше не возвращался. Оказалось, что любые два депутата встретились на заседании. Докажите, что был момент, когда все депутаты присутствовали.

10.

Двадцать солдат выстроены прямоугольником по 4 человек в каждом поперечном ряду и по 5 человек в каждом продольном ряду. В каждом продольном ряду выбран самый высокий солдат, а затем из отобранных четырех человек выбран самый низкий. С другой стороны, в каждом поперечном ряду выбран самый низкий солдат, а затем среди отобранных пяти выбран самый высокий. Кто из двоих окажется выше?