Кружок 7 класса

Руководитель Евгений Александрович Асташов
2013/2014 учебный год
Кружок 7 класса (рук. Е. А. Асташов) Кружок 7 класса, группа А (ст. преп. Д. А. Удимов)

Занятие 7. Игры

В приведённых ниже задачах описаны правила различных игр. Требуется указать выигрышную стратегию для одного из игроков. Стратегия — это набор правил, по которым игрок должен делать свои ходы в зависимости от предыдущих ходов противника и текущей позиции. Для игрока, делающего первый ход, стратегия должна включать в себя и выбор первого хода.
1.
В куче лежит 50 камней. Двое по очереди добавляют в нее от 1 до 10 камней. Выигрывает тот, кто доведет число камней до 200. Кто это будет — первый или второй?
2.
Имеется 40 конфет. Играют двое. За один ход можно съесть от одной до шести конфет. Съевший последнюю конфету а) выигрывает; б) проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре?
3.
Преподаватели Аня и Таня поедают 40 школьников. За ход разрешается съесть двоих, троих или четверых школьников. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет в поедании школьников, если начинает Аня?
4.
Игра «Башe». Имеется полоска клетчатой бумаги длиной 10 клеток. В крайней правой ее клетке стоит шашка. Двое играющих по очереди передвигают ее влево на одну или две клетки. Проигрывает тот, кому некуда ходить.
5.
Кто выигрывает в игре «Башe», если длина полоски составляет 11 клеток? 12 клеток? 13 клеток? 2000 клеток?
6.
Изменим правила игры «Башe»: теперь за один ход можно сдвигать шашку на 1, 2, 3, 4 или 5 клеток, а длина полоски — 13 клеток.
7.
А теперь в игре «Башe» можно сдвигать шашку на 3, 6, 9 или 12 клеток, а длина полоски — 40 клеток.
8.
Проанализируйте игру «Башe», где можно сдвигать шашку на 1, 3 или 4 клетки, а длина полоски — 15 клеток. А что можно сказать про случай, когда длина полоски — 2000 клеток?
9.
На столе две кучки шоколадных конфет: по 1001 и 2013 штук соответственно. Играют двое: за каждый ход можно съесть от 1 до 6 конфет, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет?
10.
На столе лежит две кучки мармеладных конфет: 45 и 44 штуки соответственно. за ход разрешается съесть одну конфету из какой-нибудь кучки, а вторую кучку разделить на две части (не обязательно равные). Проигрывает тот, кто не может сделать хода.
11.
Двое играют в следующую игру. Первый выбирает любое поле на доске 8×8 и ставит туда короля. Затем игроки по очереди делают ходы королём, при этом ходить можно только на клетки, на которых король ещё не был. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?