Кружок 5 класса

Занятие 9 (16 ноября 2013 года)

1.

Известно, что из любых двух членов правительства Анчурии хотя бы один — взяточник. Сколько может быть в правительстве честных чиновников?

2.

Среди сорока кувшинов, с которыми атаман разбойников приехал в гости к Али-Бабе, нашлись два кувшина разной формы и два кувшина разного цвета. Обязательно ли можно найти два кувшина одновременно и разной формы, и разного цвета?

3.

Таня стоит на берегу речки. У неё есть два глиняных кувшина: один — на 5 литров, а про второй Таня помнит лишь то, что он вмещает то ли 3, то ли 4 литра. Помогите Тане определить ёмкость второго кувшина. (Заглядывая в кувшин, нельзя понять, сколько в нём воды.)

4.

Над цепью озёр летела стая гусей. На каждое озеро садилась половина стаи и ещё полгуся, а остальные летели дальше. Все гуси сели на пяти озёрах. Сколько гусей было в стае?

5.

Три ёжика делили три кусочка сыра массами 5 г, 8 г и 11 г. Лиса стала им помогать. Она может от любых двух кусочков одновременно отрезать и съесть по 1 г сыра. Сможет ли лиса оставить ёжикам равные кусочки сыра?

6.

На какое наименьшее число частей нужно разрезать торт, чтобы его можно было раздать поровну как троим, так и четверым?

Дополнительные задачи

7.

Доска размером 6×6 покрыта 18 доминошками размером 2×1 (доминошки не перекрываются и не вылезают за пределы доски). Докажите, что можно разрезать доску на две части по прямой линии, не повредив ни одной доминошки.

8.

Две команды шахматистов, по 5 игроков в каждой, сыграли матч: каждый сыграл по одному разу с каждым из другой команды. В каждой партии давали 1 очко за победу, ½ — за ничью и 0 — за поражение. В итоге команды набрали поровну очков. Докажите, что какие-то два шахматиста набрали поровну очков.