Кружок 8 класса

Домашняя олимпиада, часть А

1.

На шахматной доске расставлены ладьи так, что в каждой вертикали и в каждой горизонтали стоит ровно одна ладья. Доску разбили на четыре равных квадрата. Незнайка посчитал число ладей в правом верхнем квадрате и вычел из него число ладей в левом нижнем квадрате. Какое число могло получиться у Незнайки в результате?

2.

Яблоко называется большим сладким, если при сравнении с каждым из остальных яблок на яблоне оно или больше, или слаще (или и то, и другое). Аналогично определяется маленькое кислое яблоко. Так случилось, что на яблоне все яблоки — большие сладкие. Докажите, что все яблоки на этой яблоне маленькие кислые.

3.

а)

В клетках квадрата 4×4 записаны целые числа так, что каждое число равно среднему арифметическому чисел, стоящих в соседних с ним клетках (соседними считаются клетки, имеющие общую сторону). Обязательно ли все числа равны?

б)

В клетках бесконечного клетчатого листа записаны целые числа так, что каждое число равно среднему арифметическому чисел, стоящих в соседних с ним клетках (по стороне). Обязательно ли все числа равны?

4.

В этой задаче рассматриваются любые фигурки, составленные из клеток клетчатой бумаги. Фигурка может иметь дырки, но должна состоять лишь из одного куска, т.е. у шахматной ладьи должна быть возможность добраться из любой клетки фигурки в любую другую её клетку. Способы разбиения фигурки на доминошки, отличающиеся поворотом или симметрией, считаются различными. Например, мы считаем, что квадратик 2×2 можно разбить на доминошки ровно двумя способами.

а)

Сколькими способами можно разбить на доминошки прямоугольник 2×3? 2×4?

б)

Докажите, что прямоугольник 2×5 можно разбить на доминошки ровно 8 способами.

в)

Сколькими способами можно разбить на доминошки прямоугольник 2×10?

г)

Придумайте фигурку, которую можно разбить на доминошки ровно 4; ровно 6; ровно 7 способами.

* * *

5.

а) Придумайте целое число, квадрат которого начинается с 99 девяток.

6.

Существует ли прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза AB=10, а биссектриса CK=6?

7.

По шахматной доске гуляет маляр. Сейчас все клетки доски — белые. Маляр, переходя из клетки в соседнюю (по стороне), перекрашивает её (из белого цвета — в чёрный, а из чёрного — в белый). Может ли маляр гулять так, чтобы покрасить клетки в шахматном порядке?

* * *

8.

а) Незнайке дали квадратный лист картона и попросили вырезать из него 4 прямоугольных полоски размером 1×100 так, чтобы стороны полосок были параллельны сторонам квадрата. Незнайка вырезал три полоски и говорит, что вырезать четвёртую уже невозможно. Может ли так быть?

5.

б) Верно ли, что для любой комбинации цифр найдётся целое число, квадрат которого начинается с этой комбинации цифр?

9.

Три друга играли в шахматы, причём все сыграли одинаковое число партий. Могло ли так случиться, что у первого больше всех побед, у второго меньше всех поражений, а у третьего больше всех очков? (За победу даётся 1 очко, за поражение 0 очков, а за ничью — 1/2).

* * *

8.

б)

Незнайке всё же удалось вырезать четвёртую полоску. Может ли он умудриться вырезать её так, что вырезать из этого листа пятую полоску будет уже невозможно?

в)

Допустим, Незнайка вырезал и пятую полоску. Может ли случиться так, что после этого будет невозможно вырезать шестую? Не забудьте, что вырезать можно только полоски со сторонами, параллельными сторонам исходного квадрата.

* * *

10.

а)

Дано 7 натуральных чисел, больших 100. Верно ли, что среди них обязательно найдутся два числа, разность которых делится на 11?

б)

Дано 7 натуральных чисел, больших 100. Верно ли, что среди них обязательно найдутся два числа, разность или сумма которых делится на 11?

11.

Каждый из натуральных делителей числа n (за исключением самого числа n) возвели в квадрат, а затем все эти квадраты сложили. Получившаяся сумма оказалась равна 2n + 2. Чему могло быть равно число n?

12.

На доске написали четыре натуральных числа. Затем вычислили всевозможные попарные суммы этих чисел. Могло ли случиться, что все 10 получившихся сумм будут степенями числа 5? (т.е. числами вида 5ⁿ).