Кружок 8 класса

Занятие 8 (3 ноября 2012 года). Математическая карусель

1

На какое наибольшее число частей можно разрезать круг пятью прямолинейными разрезами?

2

Какой цифрой оканчивается произведение всех простых чисел от 1 до 100? (Простым называется натуральное число, делящееся ровно на два числа: на себя и на единицу.)

3

По какой цене за килограмм нужно продавать смесь конфет «Солнышко» и «Луна», если цена «Солнышка» 50 рублей за кг, цена «Луны» — 70, и в смеси «Луны» втрое больше, чем «Солнышка»?

4

Какое наибольшее количество натуральных чисел от 1 до 1000 можно выбрать так, чтобы сумма любых четырёх из них делилась на три нацело?

5

Найдите восемь последовательных целых чисел, сумма первых трёх из которых равна сумме остальных пяти.

6

На какое наименьшее число частей можно разрезать круг пятью (различными) прямолинейными разрезами?

7

Первая цифра трёхзначного числа равна 4. Если перенести её в конец, получится число, составляющее ³/₄ от исходного. Чему может быть равно исходное число?

8

Какое наибольшее количество натуральных чисел от 1 до 1000 можно выбрать так, чтобы сумма любых трёх из них делилась на три нацело?

9

Какой угол образуют минутная и часовая стрелки в двадцать минут первого?

10

Сколько различных ответов можно получить, расставляя скобки в выражении 1 + 2 × 3 + 4?

11

Сколько четырёхзначных чисел содержат ровно две различные цифры?

12

Среди натуральных чисел от 1 до n ровно половина имеет в записи цифру 1. Найти все такие n от 1 до 100.

13

Ровно в полдень 15-метровый столб отбрасывает 10-метровую тень. Какова высота дерева, отбрасывающего в тот же момент 15-метровую тень?

14

Каких пятизначных чисел больше: не делящихся на 5 или тех, у которых ни первая, ни вторая цифра слева — не пятёрка?

15

На какое наибольшее число частей можно разрезать круг семью прямолинейными разрезами?

16

В трёх ящиках лежат орехи. В первом на 99 орехов меньше, чем в двух других вместе, во втором — на 19 меньше, чем в первом и третьем вместе. Сколько орехов в третьем ящике?

17

Сколько существует различных квадратов со сторонами, идущими по линиям сетки квадрата 7×7?

18

На какое наибольшее число частей можно разрезать круг 20 прямолинейными разрезами?

19

В классе 16 учеников. Каждый месяц учитель делит класс на две группы. Какое наименьшее число месяцев должно пройти, чтобы любые два ученика в какой-то из месяцев оказались в разных группах? [Точнее: за какое наименьшее число месяцев учитель может добиться того, чтобы любые два ученика в какой-то из месяцев оказались в разных группах?]

20

Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на сумму своих цифр даёт в остатке 22.

21

Дан выпуклый десятиугольник, в котором проведены все диагонали, причём никакие три диагонали не пересекаются в одной точке. Сколько будет точек пересечения диагоналей (не считая вершины десятиугольника)?