Кружок 6 класса

Занятие 4. Делимость

1.

а)

Придумайте три различных числа, сумма которых делится на каждое из них.

б)

Придумайте три числа, сумма которых делится на число, на которое не делится ни одно из них.

2.

Верно ли, что если число одновременно делится на 4 и на 6, то оно делится и на 24?

3.

Робинзон Крузо каждый второй день пополняет запасы питьевой воды из источника, каждый третий день собирает фрукты и каждый пятый день ходит на охоту. Сегодня у Робинзона тяжёлый день: он должен делать все эти три дела. Когда у Робинзона будет следующий тяжёлый день?

4.

Не вычисляя произведения 2013 · 15 · 77, определите, делится ли оно на 2, 3, 9, 35, 55, 80, 6039.

5.

В магическом квадрате суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и на обеих диагоналях равны. Можно ли составить магический квадрат 5×5 из первых 25 простых чисел?

6.

Делится ли число (111⁹⁹⁹ − 1) на 2? А на 10?

7.

Найдите последнюю цифру числа:

а)

3¹⁰⁰;

б)

2011²⁰¹² + 2012²⁰¹³.

8.

Допишите к числу 523... три цифры так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 7, 8 и 9. Сколько всего таких чисел существует?

9.

В магазине было 6 ящиков яблок, массы которых равны соответственно 15, 16, 18, 19, 20 и 31 кг. Две фирмы приобрели 5 ящиков, причем одна из них взяла в два раза больше яблок (по массе), чем другая. Какой ящик остался в магазине?

10.

Вершины тысячеугольника занумерованы по порядку от 1 до 1000. Сан Саныч отмечает каждую пятнадцатую вершину, начиная с первой (то есть вершины с номерами 1, 16, 31, 46 и т.д.). Так он делает до тех пор, пока не дойдёт до уже отмеченной вершины. Сколько вершин тысячеугольника останутся неотмеченными?

11.

Если в выражение n² + n + 41 подставлять n = 1, 2, 3, 4, 5, получатся простые числа 43, 47, 53, 61, 71. Верно ли, что при подстановке в это выражение любого натурального числа n получится простое число?