Кружок 6 класса
Руководитель Евгений Александрович Асташов
2012/2013 учебный год
Занятие 15. Признаки делимости
При решении задач этого занятия вам пригодятся следующие признаки делимости:
Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда его сумма цифр делится на 3.
Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда его сумма цифр делится на 9.
Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра чётна.
Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0 или 5.
Натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, образованное его двумя последними цифрами (в том же порядке), делится на 4.
Натуральное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное его тремя последними цифрами (в том же порядке), делится на 8.
- 1.
-
Вовочка написал в тетради число 65349*0712 в качестве примера числа, которое делится: а) на 9; б) на 3.
(На месте звёздочки когда-то была написана цифра, а теперь там пятно от сладкого чая.) Помогите Вовочке восстановить пропущенную цифру. Укажите все возможные варианты!
- 2.
-
Запишем подряд цифры от 1 до 9, получим число 123456789. Простое оно или составное? Изменится ли ответ в задаче, если каким-то образом поменять порядок цифр в этом числе?
- 3.
-
Делится ли число 32561698 на 12? Решите эту задачу:
- а)
- с помощью признака делимости на 4;
- б)
- с помощью признака делимости на 3.
- 4.
-
Даша и Таня по очереди выписывают на доску цифры шестизначного числа. Сначала Даша выписывает первую цифру, затем Таня — вторую, и так далее.
Таня хочет, чтобы полученное в результате число делилось на три, а Даша хочет ей помешать. Кто из них может добиться желаемого результата независимо от ходов соперника?
- 5.
-
В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае,
если двузначное число, составленное из цифр — названий этих городов, делится на 3. Можно ли добраться из города 1 в город 9?
- 6.
-
Чтобы открыть сейф, нужно ввести код — семизначное число, состоящее из двоек и троек. Сейф откроется, если двоек в коде больше, чем троек, а сам код делится и на 3, и на 4.
Какой код может открывать сейф?
- 7.
-
Замените звездочки в записи числа 72*4* цифрами так, чтобы это число делилось на 45. Укажите все возможные варианты!
- 8.
-
- а)
- Докажите, что произведение двух последовательных чётных чисел всегда делится на 8.
- б)
- Может ли произведение четырех последовательных натуральных чисел оканчиваться на 116?
- 9.
-
Докажите, что из любых семи различных цифр можно составить число, которое делится на четыре.
- 10.
-
Может ли произведение числа и суммы его цифр равняться 4704?
- 11.
-
Может ли натуральное число, записываемое с помощью 10 нулей, 10 единиц и 10 двоек, быть квадратом некоторого другого натурального числа?
- 12.
-
Натуральное число В обладает следующим свойством: для любого числа A, которое делится на В, на В также делятся и все числа, полученные из А перестановкой цифр.
Докажите, что В может быть равно только 1, 3 или 9.