Кружок 6 класса

Занятие 1. Задачи для знакомства

1.

Преподаватели собрали письменные работы и пересчитывают их перед проверкой. Ирина Сергеевна сложила их стопками по сто работ. Даниил Алексеевич может за две секунды отсчитать пять работ. За какое наименьшее время он может отсчитать себе 75 работ для проверки?

2.

а)

Разрежьте какой-нибудь квадрат на четыре равные части.

б)

А теперь разрежьте такой же квадрат на 16 равных частей.

в)

Сможете ли вы разрезать такой же квадрат на 17 равных частей?

3.

а)

Предложите набор из трёх гирек, каждая из которых весит целое число граммов, чтобы с их помощью на чашечных весах без делений можно было взвесить любой целочисленный вес от 1 до 7 граммов.

б)

Не хватит ли для этой цели набора из каких-нибудь двух гирек (не обязательно с целочисленными массами)?

4.

В аудиториях 404 и 405 писали письменную работу по 30 шестиклассников. Проверив их работы, Андрей Михайлович сказал коллегам: «В этих двух аудиториях вместе решивших шестую задачу на пять человек меньше, чем не решивших её». Докажите, что Андрей Михайлович что-то напутал.

5.

В корзине лежат 30 рыжиков и груздей. Среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов имеется хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?

6.

Может ли быть верным равенство К×О×Т = У×Ч×Ё×Н×Ы×Й, если в него вместо букв подставить цифры от 0 до 9? Разные буквы соответствуют разным цифрам. Буква О не обязательно соответствует цифре 0.

7.

Дима разрезал прямоугольник на два прямоугольника с периметрами по 40 см, а Стёпа разрезал точно такой же прямоугольник на два прямоугольника с периметрами по 50 см. Найдите длины сторон исходного прямоугольника.

8.

По данным опроса, проведенного в 6 "Ё" классе, пятая часть учеников, интересующихся математикой, интересуются еще и биологией, а четверть учеников, интересующихся биологией, интересуются также и математикой. И только Олегу и Паше не интересен ни один из этих предметов. Сколько человек в 6 "Ё" классе, если известно, что их больше 20, но меньше 30?

9.

Бился Иван-Царевич со Змеем Горынычем, трёхглавым и трёххвостым. Одним ударом он мог срубить либо одну голову, либо один хвост, либо две головы, либо два хвоста. Но, если срубить один хвост, то вырастут два; если срубить два хвоста — вырастет голова; если срубить голову, то вырастает новая голова, а если срубить две головы, то не вырастет ничего. Как должен действовать Иван-Царевич, чтобы срубить Змею все головы и все хвосты как можно быстрее?