Кружок 5 класса

Руководители Дмитрий Владимирович Трущин и Михаил Владимирович Шеблаев
2012/2013 учебный год

Разные задачи (16 февраля 2013 года)

1.
Пешеходная зебра состоит из 30 чередующихся чёрных и белых полос. Злостный нарушитель Василий каждую ночь тайно перекрашивает одну из полос в противоположный цвет (если после этого соседние полосы будут иметь один цвет, они объединяются в одну широкую полосу). Может ли зебра после двух недель хулиганских действий стать целиком одноцветной?
2.
Сторож Степаныч унёс со склада мешок с мукой, который весит 30 кг. В мешке имеется дырка, через которую мука высыпается со скоростью 100 г/мин. Изначально сторож бредёт со скоростью 2 км/ч, но с каждым просыпанным килограммом муки его скорость возрастает на 1 км/ч. Через 10 минут после Степаныча за ним со склада выбежала мышка, которая кушает просыпанную муку со скоростью 10 г/мин. Какова будет скорость мышки в тот момент, когда она доест муку?
3.
Очень умные Петя и Вася выписывают четырёхзначные числа. Петя выписывает такие числа, у которых первая цифра равна сумме трёх других, а Вася такие, у которых последняя цифра равна сумме трёх других. Кто выпишет больше чисел?
4.
Сеня выписал в ряд несколько натуральных чисел, каждое из которых отличается от предыдущего либо на 10, либо в 7 раз. Сумма всех выписанных чисел равна 163. Какое наименьшее количество чисел мог выписать Сеня?
5.
В лаборатории содержится 50 мышей, часть из них чёрные, а часть — белые. Они рассажены по 25 двухместным клеткам так, что ровно у половины белых мышей соседи по клетке чёрные. Докажите, что мышей нельзя пересадить так, чтобы ровно у половины чёрных мышей соседи по клетке были белыми.
6.
В один ряд растёт по 300 деревьев, по 2 дерева каждого из 150 видов. Известно, что один из видов дерева — это осина. Между любыми двумя деревьями одного вида, кроме осины, растёт ровно 149 других деревьев. Докажите, что и между двумя осинами растёт ровно 149 деревьев.
7.
В 99-этажном доме началось массовое переселение, при котором каждый житель переехал на один или два этажа вверх или вниз. До и после переселения на каждом этаже жил ровно один человек. Докажите, что какие-то два человека, раньше жившие через один этаж, теперь живут на соседних этажах.
8.
По узкому длинному коридору идут через равные промежутки 33 джентльмена, а им навстречу тоже через равные промежутки — 61 джентльмен. Когда два джентльмена встречаются, они пожимают друг другу руки, разворачиваются и идут обратно. Когда джентльмен добирается до какого-нибудь из концов коридора, он уходит домой. Через некоторое время все джентльмены, наконец, разошлись. Сколько рукопожатий было сделано?