Кружок 5 класса

Математическая абака (10 ноября 2012 года)

Правила

Игроки разделяются на команды по 3-4 человека. Каждая команда сразу получает условия всех задач. Задачи разделяются по 6 темам, в каждой теме находится по одной задаче каждого из 6 уровней сложности: в 10, 20, 30, 40, 50, 60 баллов.

Команда не может сдавать задачу, если она не пыталась сдать все предыдущие задачи в этой теме (неважно, были они правильно решены, или нет). Сдавать каждую задачу можно только с одной попытки — если она решена неправильно, то она больше не засчитывается, однако команда получает возможность сдать следующую задачу в этой теме.

Баллы начисляются за правильно решённые задачи в зависимости от их сложности. Также существуют бонусы по 50 баллов за все правильно решённые задачи каждой темы и по X баллов за правильно решённые задачи всех тем сложности X. На игру отводится ровно 90 минут, после чего побеждает команда, набравшая большее количество баллов.

Задачи

Судоку

В судоку необходимо заполнить пустые клетки цифрами от 1 до 9 (в первой задаче — фигурами 4 видов) так, чтобы в каждой строке и каждом столбце, а также в каждой отделённой жирными границами зоне было ровно по одной цифре (фигуре) каждого вида.

10

В этой задаче вместо цифр используются фигуры 4 видов (четвёртый вид фигур можно придумать самостоятельно, так как он не задан в условии).

20

30

40

50

60

Логика

10

Илюша получил пятерку по литературе и истории. Аннушка сказала: "Илюша получил пятерку по истории или по биологии". Уж не соврала ли Аннушка?

20

Правда ли, что в этом помещении все драконы добрые?

30

Ниф-ниф, Наф-наф и Нуф-нуф пришли в казино в серебряной, золотой и платиновой цепях. Перстни у них были из тех же металлов. У Ниф-нифа цепь и перстень были изготовлены из одинакового металла. У Наф-нафа ни цепь, ни перстень не были серебряными. У Нуф-нуфа цепь была из платины, а перстень не из платины. У кого из чего были изготовлены украшения?

40

За круглым столом сидят 10 человек. Требуется установить, сколько рыцарей может быть за столом, если каждый из сидящих произносит одну и ту же фразу: «Оба моих соседа — лжецы».

50

В одной из конференций участвовали 30 физиков и 20 химиков. При этом среди физиков было 10 лжецов. Участники конференции сидели за круглым столом и по окончании журналист местной газеты спросил каждого, кто был его соседом справа. Все участники конференции ответили одинаково — химик. А сколько лжецов было среди химиков?

60

Путешественник попал на заседание парламента, который состоял из 100 человек. У него на глазах 60 парламентариев по одному покинули зал заседания и каждый заявлял журналистам: «Среди оставшихся депутатов лживых больше, чем правдивых». А сколько на самом деле правдивых депутатов насчитывает логиканский парламент?

Комбинаторика

10

Из двух маткружков, в каждом из которых по 23 участника, нужно выделить по одному человеку на олимпиаду. Сколько способов это сделать?

20

Царь, царевич, король, королевич, сапожник и портной хотят сесть в ряд на верхней ступеньке златого крыльца. Сколькими способами они могут это сделать?

30

Вася хочет развесить на веревке футболки: 3 синих , белую и желтую. Одноцветные футболки одинаковы. Сколько способов сделать это есть у Васи?

40

Сколькими способами можно из точки А добраться до точки В, двигаясь по стрелкам?

50

Сколькими способами можно указать на шахматной доске два квадрата: черный и белый, не лежащие на одной вертикали и горизонтали?

60

Сколько различных (математических) аккордов можно взять на 10 выбранных клавишах рояля, если каждый аккорд содержит от 3 до 10 звуков?

Текстовые задачи

10

Несколько гномов, навьючив свою поклажу на пони, отправились в дальний путь. Их заметили тролли, которые насчитали в караване 36 ног и 15 голов. Сколько было гномов, и сколько пони?

20

Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Дедка, Бабка, Внучка, Жучка и Кошка вместе с Мышкой могут вытащить Репку, а без Мышки — не могут. Сколько надо позвать Мышек, чтобы они смогли сами вытащить Репку?

30

На лужайке росли 35 жёлтых и белых одуванчиков. После того как 8 белых облетели, а 2 жёлтых побелели, жёлтых одуванчиков стало вдвое больше, чем белых. Сколько белых и сколько жёлтых одуванчиков росло на лужайке вначале?

40

В классе 25 учеников. Известно, что у любых двух девочек класса количество друзей-мальчиков из этого класса не совпадает. Какое наибольшее количество девочек может быть в этом классе?

50

Два десятка лимонов стоят столько же рублей, сколько лимонов дают на 500 рублей. Сколько стоит десяток лимонов?

60

В мешке 70 шаров, отличающихся только цветом: 20 красных, 20 синих, 20 желтых, остальные — черные и белые. Какое наименьшее число шаров надо вынуть из мешка, не видя их, чтобы среди них было не менее 10 шаров одного цвета?

Геометрия

10

На чертеже изображён маршрут лыжной прогулки и некоторые расстояния (в км) между поворотами. Найдите полную длину дистанции лыжников.

20

Разрежьте прямоугольник, нарисованный на клеточной бумаге, со сторонами 4 и 9 клеток на 2 одинаковые части, из которых можно сложить квадрат. Разрез должен проходить по сторонам клеток.

30

Все стороны фигуры (не известно, какой) уменьшили вшестеро. Во сколько раз уменьшилась площадь?

40

Нарисуйте фигуру, у которой ровно 5 осей симметрии.

50

Найдите объём фигуры на рисунке, если её ширина 2м, длина 2м, высота 3м. (пунктиром обозначены невидимые стороны)

60

Разрежьте фигуру на 2 одинаковые части так, чтобы в одной были все крестики, а в другой – все нолики.

Расстановки скобок и знаков

10

Расставьте знаки действий, где это необходимо, чтобы равенство стало верным: 2 0 1 2 = 18

20

Расставьте в снежинке все цифры от 1 до 7 так, чтобы все суммы по три числа на отрезках были одинаковыми:

30

Решите ребус (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным - разные):

	У	Д	А	Р
+	У	Д	А	Р
_	_	_	_	_
Д	Р	А	К	А

40

Расставьте числа от 1 до 12 в кружки так, чтобы каждая стрелка вела от большего числа к меньшему.

50

Расставьте числа в пропуски так, чтобы сумма любых четырёх чисел, идущих подряд, равнялась 29:
15 _ _ _ _ _ _ 7 _ 3

60

Вася написал на доске 9 троек в ряд и перед каждой цифрой, включая первую, поставил знак «+» или «–», а потом расставил пары скобок, сколько ему вздумалось. Петя подошёл и посчитал значение получившегося выражения. Сколько возможных ответов он мог получить?

Ответы