Кружок 9-11 классов

Математический аукцион

Математический аукцион — это соревнование команд численностью от 3 до 5 человек. В каждой команде есть капитан. В начале аукциона каждая команда получает кредит — 100 мммфников. Игра состоит из нескольких лотов. В каждом лоте ведущим аукциона выставляется на торги одна задача. В нашем аукционе цена каждой задачи 50 мммфников (столько получает команда, которая выигрывает лот). Выигравшей лот считается та команда, которая последней сделала результативный ход, т.е. предъявила «наилучший» из верных ответов на задачу, причём такой, который не был ранее предъявлен другими командами. Если же ни одна команда не сумела сделать результативного хода за 5–10 минут, то со счёта каждой команды снимается по 50 мммфников (цена одной задачи), и на торги выставляется следующая задача. Ответы к каждой задаче принимаются в течение 10-15 минут (в зависимости от задачи) после оглашения условия (чтобы не слишком затягивать игру). Каждый раз, когда какая-нибудь команда желает предъявить свой ответ, происходят торги за право написать ответ на доске. Начальная цена 5 мммфников. Заявка на торг и предлагаемая цена выслушивается ведущим только от капитана команды и только в том случае, если он поднял руку, а ведущий указал на него. Как только возможность написать ответ на доске «продана», с команды снимаются заплаченные ею за эту возможность тугрики, и один из членов команды пишет свой ответ. Далее команды могут начать торги заново, если они считают, что у них есть ответ лучше. Если на доске появляется неверный ответ, командам об этом не сообщается до окончания торгов по очередной задаче. Аукцион заканчивается, когда заканчиваются все задачи или когда подходит к концу занятие. На аукционе запрещается пользоваться мобильными телефонами и калькуляторами. Штраф — 50 мммфников.

1.

Выписать наиболее длинную цепочку из различных двузначных чисел так, чтобы каждое следующее число делилось на сумму цифр предыдущего.

2.

Используя известные вам математические символы, получите число 2013 с помощью как можно меньшего количества единиц. Другие цифры использовать нельзя.

3.

Дана доска 4×4. Разрешается разрезать любую клетку по диагонали (можно сделать два разреза по обеим диагоналям). Сделайте наибольшее число разрезов так, чтобы доска не развалилась на части.

4.

Разрежьте на возможно большее число частей плоскость двумя четырехугольниками (не обязательно выпуклыми).

5.

Расставить на шахматной доске как можно больше шахматных коней так, чтобы каждый из них бил нечётное число коней.

6.

Для чисел 2, 3, 5 сумма их попарных произведений равна 2·3 + 2·5 + 3·5 = 31. Найдите как можно больше троек чисел, сумма попарных произведений которых равна 27.

7.

Разрежьте квадрат 7×7 на наибольшее число различных прямоугольников по линиям сетки.

8.

Найдите как можно более длинное число, которое делится на все двузначные числа, образованные его соседними цифрами. Например, число 320 делится на 32 и на 20. В числе не допускаются нули и повторяющиеся двузначные фрагменты. (Говорят, что самое длинное известное такое число состоит более чем из 50 цифр.)

Запас:

1.

Нарисуйте ломаную с как можно меньшим количеством звеньев, которая пересекала бы каждое свое звено ровно два раза.

2.

Придумайте как можно более длинную цепочку различных слов (существительных единственного числа, именительного падежа, не имен собственных) так, чтобы первые три буквы очередного слова совпадали с последними тремя буквами предыдущего (например: корОЛЬ ОЛЬха).