Кружок 9-11 классов

Первое занятие (17 сентября 2011 года)

1.

В магазине продаются 3 тарелки, 4 ложки и 5 вилок. Сколькими способами можно купить там два предмета с разными названиями?

2.

Сколькими способами можно выбрать пять носков из 20 имеющихся?

3.

В лесу растут 1000000 ёлок, при чём на ёлке не может расти больше 600000 иголок. Докажите, что в лесу есть две ёлки с одинаковым чилом иголок.

4.

В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трёх сортов (в каждом ящике яблоки только одного сорта). Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с ябоками одного и того же сорта.

5.

а) Сформулируйте и б) докажите признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 и 25.

6.

Докажите, что 1· 2 + 2· 3 + … + (n − 1)· n = (n − 1)n(n − 1)⁄3.

7.

Есть три стержня и n колец разного размера. Класть можно только кольцо меньшего размера на кольцо большего размера. Можно ли переместить пирамидку с одного стержня на другой? Если можно, то какое минимальное количество ходов на это уйдёт?

8.

1 сентября Вася получил зарплату, провёл кружок и сходил в кино. Вася получает зарплату через каждые 30 дней, проводит кружок каждую субботу и ходит в кино каждые 4 дня. Когда в следющий раз он сделает всё это в один день?

9.

Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 358256 и 6485.

10.

Найдите все целые решения уравнения 12x + 5y = 7.

11.

На клетчатой бумаге проведена диагональ прямоугольника 1×4. Покажите, как, пользуясь только линейкой без делений, разделить этот отрезок на три равные части.

12.

В треугольнике ABC отмечены M — точка пересечения медиан, K — середина BC, X — произвольная точка внутри треугольника, Y симметрична X относительно K. Докажите, что прямая XM делит отрезок AY пополам.

13.

На куске хлеба прямоугольной формы лежит кусок сыра круглой формы. Всегда ли можно разрезать его так, чтобы и хлеб, и сыр делились на равне куски. Ответ обоснуйте.

14.

В Пумпемстане в ходу монеты достоинством 1, 2, 5, 10, 20, 50 копеек и 1 рубль. Известно, что m монетами можно выдать k копеек. Докажите, что k монетами можно выдать m рублей.

15.

Из 16 прямоугольных плиток 1×3 и плитки 1×1 сложили квадрат со стороной 7. Докажите, что плитка 1×1 лежит в центре квадрата или примыкает к его границе.