Кружок 5 класса

Занятие 14 (12.02.2011). Можно или нельзя

1.

Ваня говорит: „Позавчера мне было ещё только 10 лет, а в следующем году исполнится уже 13”. Может ли такое быть?

2.

Можно ли на шахматной доске расставить 9 ладей так, чтобы они не били друг друга?

3.

а)

Существуют ли такие два последовательных натуральных числа, что сумма цифр каждого из них делится на 4?

б)

А два последовательных числа с равной суммой цифр?

4. Может ли в месяце быть

а)

3 воскресенья;

б)

4 воскресенья;

в)

5 воскресений;

г)

6 воскресений?

5.

Можно ли разрезать квадрат на квадратики двух размеров так, чтобы маленьких было столько же, сколько и больших?

6.

Кролик, готовясь к приходу гостей, повесил в трёх углах своей многоугольной норы по лампочке. Пришедшие к нему Винни-Пух и Пятачок увидели, что не все горшочки с мёдом освещены. Когда они полезли за мёдом, две лампочки разбились. Кролик перевесил оставшуюся лампочку в некоторый угол так, что вся нора оказалась освещена. Могло ли такое быть?

7.

Лиса и два медвежонка делят 100 конфет. Лиса раскладывает конфеты на три кучки; кому какая достанется — определяет жребий. Лиса знает, что если медвежатам достанется разное количество конфет, то они попросят её уравнять их кучки, и тогда она заберёт излишек себе. После этого все едят доставшиеся им конфеты.

а)

Придумайте, как Лисе разложить конфеты по кучкам так, чтобы съесть ровно 80 конфет (ни больше, ни меньше).

б)

Может ли Лиса сделать так, чтобы в итоге съесть ровно 65 конфет?

8.

На территории страны, имеющей форму квадрата со стороной 1000 км, находится 51 город. Страна располагает средствами для прокладки 11000 км. Сможет ли правительство страны соединить сетью дорог все свои города?