Кружок 9-11 классов

Тема 1. Инвариант

А вы, друзья, как ни садитесь, Всё в музыканты не годитесь.

1.

На столе стоят 16 стаканов. Из них 15 стоят правильно, а один перевернут донышком вверх. Разрешается одновременно переворачивать любые четыре стакана. Можно ли, повторяя эту операцию, поставить все стаканы правильно?

2.

Набор (b₁, …, b₇) является перестановкой набора целых чисел (a₁, …, a₇). Докажите, что число (a₁ − b₁) · … · (a₇ − b₇) — чётное.

3.

На шести ёлках сидят шесть чижей, на каждой ёлке — по чижу. Ёлки растут в ряд с интервалами в 10 метров. Если какой-то чиж перелетает с одной ёлки на другую, то какой-то другой чиж перелетает на столько же метров в противоположном направлении. Могут ли все чижи собраться на одной ёлке? А если чижей и ёлок семь?

4.

На столе рубашкой вниз лежит игральная карта. Можно ли, перекатывая ее по столу через ребро, добиться того, чтобы она оказалась на прежнем месте, но а) рубашкой вверх; б) рубашкой вниз и вверх ногами?

5.

Дно прямоугольной коробки вымощено плитками 1×4 и 2×2. Плитки высыпали из коробки и одна плитка 2×2 потерялась. Ее заменили на плитку 1×4. Можно ли теперь замостить дно коробки?

6.

На шахматной доске стоят 8 ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что количество ладей, стоящих на чёрных полях, чётно.

7.

На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий. Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?

8.

На столе лежит куча из 1001 камня. Ход состоит в том, что из какой-либо кучи, содержащей более одного камня, выкидывают камень, а затем одну из куч делят на две. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучки, состоящие из трех камней?

9.

На доске написано число 8²⁰⁰⁹. У него вычисляется сумма цифр. У полученного числа вновь вычисляется сумма цифр, и т. д., до тех пор, пока не получится однозначное число. Что это за число?

10.

На доске записаны несколько положительных чисел. За один ход разрешается любые два из них, скажем, a и b, заменить на числа a − ^b/₂ и b + ^a/₂. Можно ли через несколько таких ходов получить на доске исходные числа?

11.

Бумажный треугольник с углами 20°, 20°, 140° разрезается по одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе, и так далее. Может ли после нескольких разрезов получиться треугольник, подобный исходному?