Кружок 9-11 классов

Первое занятие

1.

Два друга Игорь и Сергей рвут газету, причём Игорь каждый попадающийся ему кусок рвет на 4 части, а Сергей — на 16. Может ли у них получится 2009 кусков?

2.

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ABC и A₁B₁C₁.

3.

В двух ящиках лежат перчатки трёх цветов: в левом ящике 17 белых, 4 синих и 4 красных перчатки — все на левую руку, в правом — 13 белых, 8 синих и 8 красных — все на правую руку. Найдите такие натуральные числа k и l с наименьшей суммой, что если из левого ящика не глядя взять k перчаток, а из правого — l, то обязательно найдётся пара перчаток одного цвета.

4.

Существуют ли такие рациональные числа a, b, c, d, что