Кружок 8 класса

Занятие 1 - Разнобой

Часть первая

1.

Найти наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 становится квадратом, а после умножения на 3 — кубом целого числа.

2.

На острове Невезения живут 100 человек, причём некоторые из них всегда лгут, а остальные говорят только правду. Каждый житель острова поклоняется одному из трёх богов: богу Солнца, богу Луны или богу Земли. Каждому жителю острова задали три вопроса:

• Поклоняетесь ли Вы богу Солнца?
• Поклоняетесь ли Вы богу Луны?
• Поклоняетесь ли Вы богу Земли?

На первый вопрос утвердительно ответили 60 человек, на второй — 40 человек, а на третий — 30 человек. Сколько лжецов на острове?

3.

Докажите, что медиана AM в треугольнике ABC по длине больше, чем ^{(AB + AC − BC)}/₂

Часть вторая

4.

Есть два бикфордова шнура различной длины и непостоянной толщины. Известно, что каждый сгорает ровно за одну минуту. Как при помощи этих шнуров отмерить ровно 45 секунд?

5.

Докажите, что из любых 52 целых чисел всегда существуют два, разность или сумма которых делится на 100.

6.

На поле стояли 777 гангстеров, и все они находились на попарно различных расстояниях друг от друга. Гангстеры одновременно выхватили пистолеты и каждый выстрелил в ближайшего. Докажите, что хотя бы в одного гангстера никто не стрелял.

7.

Из картона склеен кубик. Двое играют в игру, делая ходы по очереди. За ход можно разрезать кубик по любому ребру. Проигрывает тот, после чьего хода кубик развалится. Кто выиграет при правильной игре?