Кружок 7 класса

Занятие 8

1.

Может ли быть так, что ни одно из данных двух целых чисел не делится на 6, а произведение этих чисел делится на 36?

2.

Ковбой Джо попросил в баре бутылку виски за 3 доллара, трубку за 6 долларов, 3 пачки табаку и 9 коробок спичек (их цену он не знал). Бармен потребовал 11 долларов 80 центов, на что Джо вытащил револьвер. Бармен пересчитал и исправил ошибку. Как Джо понял, что его обсчитали?

3.

а)

В некоторой стране 15 городов. Возможно ли, что из каждого города выходит ровно по 3 дороги (каждая дорога соединяет один город с другим, развилок нет)?

б)

А если городов 16?

4.

В некотором государстве каждый город соединен с каждым дорогой. Сумасшедший король хочет ввести на дорогах одностороннее движение так, чтобы, выехав из любого города, в него нельзя было вернуться. Можно ли так сделать? (Возможно, что после этого из некоторых городов будет вообще нельзя выехать.)

5.

Разрежьте уголок (см. рисунок) на 4 таких же уголка меньшего размера.

6.

Один из попугаев А, В и С всегда говорит правду, другой всегда врёт, а третий хитрец — иногда говорит правду, иногда врёт. На вопрос «Кто В?» они ответили:
А: Лжец.
В: Я хитрец!
С: Абсолютно честный попугай.
Кто из попугаев лжец, а кто хитрец?

7.

Существуют ли целые числа x, y и z, удовлетворяющие уравнению 28x + 30y + 31z=365?

8.

а)

Докажите, что произведение двух подряд идущих целых чисел чётно.

б)

Докажите, что произведение трёх подряд идущих целых чисел делится на 6.

9.

Докажите, что из любых 15 целых чисел можно выбрать два, разность которых делится на 14.

10.

Чему равна последняя цифра

а)

числа 2¹⁰⁰?

б)

числа 2009²⁰⁰⁸?

11.

Ни одно из 20 данных целых чисел не делится на 5. Докажите, что сумма четвёртых степеней этих чисел делится на 5.

Дополнительные задачи

12.

Раскраска географической карты называется правильной, если любые два соседних государства раскрашены в разные цвета. (Страны, не имеющие общего участка границы, могут быть окрашены в один цвет.)

а)

Верно, что для раскраски любой карты достаточно трёх цветов?

б)

А хватит ли трёх цветов, если все страны имеют форму треугольников?

13.

Докажите, что число 111...111 (81 единица) делится на 81.

14.

Однажды на стpойку завезли киpпичи. Как строителям, незнакомым с извлечением корней, с помощью рулетки найти длину главной диагонали кирпича?

15.

Среди невиданных зверей, оставивших следы на неведомых дорожках, было стадо одноглавых тридцатичетырёхножек и трёхголовых драконов. Всего в стаде 286 ног и 31 голова. Сколько ног у дракона?

16.

Длина линейки равна 13 см. Какое наименьшее число делений необходимо поставить, чтобы можно было за одно прикладывание линейки отмерить любой из отрезков 1, 2, ..., 12 см?

17.

Петя и Витя ехали вниз по эскалатору. Посередине эскалатора хулиган Витя сорвал с Пети шапку и бросил её на встречный эскалатор. Пострадавший Петя побежал обратно вверх по эскалатору, чтобы затем спуститься вниз и вернуть шапку. Хитрый Витя побежал по эскалатору вниз, чтобы затем подняться вверх и успеть раньше Пети. Кто успеет раньше, если скорости ребят относительно эскалатора постоянны и не зависят от направления движения?