Кружок 8 класса

Листок 10. Геометрия

1.

Докажите, что окружность, построенная на стороне равностороннего треугольника как на диаметре, проходит через середины двух других сторон треугольника.

2.

Биссектрисы двух углов треугольника пересекаются под углом 120°. Найдите третий угол треугольника.

3.

В выпуклом шестиугольнике ABCDEF противоположные стороны попарно параллельны (AB с DE, BC с EF и CD с FA), а также AB=DE. Докажите, что BC=EF и CD=FA.

4.

На плоскости нарисовали 10 равных отрезков и отметили все их точки пересечения. Оказалось, что каждая точка пересечения делит любой проходящий через неё отрезок в отношении 3:4. Каково наибольшее возможное число отмеченных точек?

5.

В треугольнике ABC угол A — тупой, а перпендикуляры к сторонам AB и AC, восстановленные в точке A, делят сторону BC на три равные части. Найдите углы треугольника ABC.

6.

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если известны сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон.

7.

На рисунке изображена гусеница танка. Танк проехал 10 см. Сколько см проехала при этом точка A на рисунке?

8.

Дана окружность, у которой указан центр, и точка A вне этой окружности. C помощью циркуля и линейки постройте прямую, проходящую через A и касающуюся данной окружности.

9.

На плоскости даны точки M и N и окружность, в которой проведён диаметр (см. рис.). Как при помощи только карандаша и односторонней линейки без делений опустить перпендикуляр из точки M на этот диаметр? А из точки N на продолжение этого диаметра?

10.

На сторонах прямоугольного треугольника площади S как на диаметрах построены полуокружности (смотрите рисунок). Найдите площадь заштрихованной фигуры. Можно пользоваться таким фактом: площадь круга радиуса r равна π· r² (где π=3,1415926…).

11.

а)

На столе лежат 5 одинаковых бумажных треугольников. Каждый разрешается сдвигать в любом направлении, не поворачивая. Всегда ли любой из этих треугольников можно полностью накрыть четырьмя оставшимися?

б)

Та же задача, но треугольники одинаковые и равносторонние.

в)

Всегда ли можно (в условиях пункта б) полностью накрыть любой из треугольников тремя другими (из оставшихся)?