Кружок 7 класса

Принцип Дирихе. Разные задачи.

1.

a) Докажите, что в любой футбольной команде есть два игрока, которые родились в один и тот же день недели.
б) Докажите, что среди жителей Москвы найдутся десять тысяч, празднующих день рождения в один и тот же день.

2.

На плоскости нарисовано 12 прямых, проходящих через точку О. Верно ли, что можно выбрать две из них так, что угол между ними будет меньше 17 градусов?

3.

Если класс из 30 человек рассадить в зале кинотеатра, то в любом случае хотя бы в одном ряду окажется не менее двух одноклассников. Если то же самое проделать с классом из 26 человек, то по крайней мере три ряда окажутся пустыми. Сколько рядов в зале?

4.

На планете Тау Кита суша занимает больше половины всей площади. Доказать, что таукитяне могут прорыть через центр планеты шахту, соединяющую сушу с сушей.

5.

а) Докажите, что среди любых 2008 целых чисел найдутся два, разность которых кратна 2007.
б) Докажите, что среди степеней двойки есть две, разность которых делится на 2008.

6.

В шкатулке 101 пуговица, каждая окрашена в один из 11 цветов. Докажите, что либо среди этих пуговиц найдутся 11 пуговиц одного цвета, либо 11 пуговиц разных цветов.

7.

В алфавите языка племени Ни-Бум-Бум 22 согласных и 11 гласных, причем словом в этом языке называется произвольное буквосочетание, в котором нет двух согласных подряд и ни одна буква не использована дважды. Буквы алфавита разбили на 6 непустых групп. Докажите, что из всех букв одной из групп можно составить слово.

Дополнительные задачи

8.

В последовательности цифр 1234096... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырех цифр. Встретятся ли в этой последовательности подряд четыре цифры 8123?

9.

В дискуссии приняли участие 15 депутатов. Каждый из них в своем выступлении раскритиковал ровно k депутатов из оставшихся 14 депутатов. При каком наименьшем k можно утверждать, что обязательно найдутся два депутата, которые раскритиковали друг друга?

10.

В воздушном пространстве находятся облака. Оказалось, что пространство можно разбить десятью плоскостями на части так, чтобы в каждой из частей находилось не более одного облака. Через какое наибольшее число облаков мог пролететь самолет, придерживаясь прямолинейного курса?