Кружок 9-10 класса

Весенний математический бой

1.

В конце четверти Вовочка выписал подряд свои текущие отметки по алгебре и поставил между некоторыми из них знак умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным 2007. Какая оценка выходит у Вовочки по алгебре в четверти? (,,Колов'' учитель не ставит.)

2.

В детском саду каждая тарелка украшена пятью розочками (по кругу); розочки бывают трёх цветов; все тарелки имеют различный рисунок. Какое наибольшее число тарелок может быть в этом детском саду?

3.

Дан параллелограмм ABCD. На прямых AB и BC выбраны точки H и K соответственно. KA = AB и HC = CB. Докажите, что треугольник KDH — равнобедренный.

4.

Какое наибольшее число точек можно разместить в круге радиуса 1 (включая границу) так, чтобы попарные расстояния между ними были равны [не больше] 1?

5.

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ABC и A₁B₁C₁.

6.

Точка O лежит в основании пирамиды SA₁...A_n, причём SA₁ = ... = SA_n и ∠S₁O = ... = ∠S_nO. При каком наименьшем n отсюда следует, что SO — высота пирамиды?