Кружок 9-10 класса

Листок 3. Центр масс

1.

Докажите, что центр масс системы точек единствен [если он существует].

2.

а)

Пусть O — произвольная точка. Докажите, что OZ = ^{m₁ OA₁ + ... + m_n OA_n}/_{m1 + ... + mn} тогда и только тогда, когда Z — центр масс системы точек A₁, ..., A_n с массами m₁, ..., m_n.

б)

Докажите, что у любой системы точек существует центр масс.

3.

Докажите теорему о группировке масс: пусть Z — центр масс системы точек A₁, ..., A_n с массами m₁, ..., m_n соответственно, а X — центр масс её части A₁, ..., A_k, k < n (с теми же массами). Тогда Z является центром масс системы точек X, A_{k + 1}, ..., A_n с массами m₁ + ... + m_k, m_{k + 1}, ..., m_n соответственно.

4.

Найдите центр масс системы из двух точек A и B с массами a и b соответственно.

5.

В каждую вершину правильного n-угольника поместили единичную массу. Где находится центр масс получившейся системы точек?

6.

а) В вершины треугольника поместили единичные массы. Где находится центр масс получившейся системы точек? б) Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

7.

Поместив подходящие массы в вершины треугольника, докажите, что биссектрисы пересекаются в одной точке.

8.

Старый пират зарыл клад на острове среди 20 деревьев. После этого он написал завещание, в котором указал, как искать клад: надо встать к первому дереву, пройти половину расстояния до второго дерева, затем повернуть к третьему и пройти треть расстояния до него, затем повернуть к четвёртому и пройти четверть расстояния до него, и т.д., наконец, повернуть к двадцатому и пройти двадцатую часть расстояния до него. К сожалению, пират забыл указать, как занумерованы деревья! Сколько разных ям придётся выкопать потомкам пирата, чтобы всё-таки найти клад?