Кружок 7 класса

Занятие 1.

Новые встречи со старыми знакомыми (07.10.2006)

1.

Можно ли выписать в ряд числа от 1 до 2006 так, чтобы любые два соседних числа, а также любые два числа, расположенные через одно, были взаимно просты?

2.

а)

Найдите значение суммы: 1 + 2 + ... + 500;

б)

Найдите значение суммы: 1 + 2 + ... + 1001;

в)

Докажите, что 1 + 2 + ... + = n(n+1)/2.

3.

Сколько рёбер в полном графе с n вершинами?

4.

Найдите все n, для которых сумма всех натуральных чисел от 1 до n - простое число.

5.

Можно ли расположить по кругу числа 1, 2, …, 8 так, чтобы сумма любых трёх рядом стоящих чисел была а) больше 11; б) больше 13?

6.

Существует ли десятизначное число, делящееся на 11, в записи которого каждая цифра встречается по одному разу?

7.

Циферблат часов (круг с числами 1, 2, …, 12) насажен в центре на ось, укреплённую на классной доске. Циферблат может поворачиваться вокруг оси на любой угол, кратный 30°. В начале на доске около каждого числа циферблата написали нуль. Затем циферблат несколько раз повернули, причём после каждого поворота к каждому из написанных на доске чисел прибавляли то, число, которое оказалось около него. Могли ли в итоге все числа на доске оказаться равными 2006?

8.

Двенадцать чисел 1, 2, …, 12 каким-то образом записаны по окружности. Одним ходом можно поменять местами два соседних числа, если модуль их разности больше 1. Докажите, что можно за несколько ходов расставить числа в естественном порядке.

9.

В шахматном турнире приняло участие n человек. Каждый сыграл с каждым ровно одну партию. Оказалось, что все, кроме Гоши, набрали одинаковое количество очков. Докажите, что Гоша либо у всех выиграл, либо всем проиграл. (В шахматном турнире за победу даётся 1 очко, за ничью 1/2 очка, за поражению 0 очков.)

10.

Можно ли в клетках таблицы 6×6 записать натуральные числа от 1 до 36 так, чтобы сумма чисел, записанных в клетках каждой из фигур, изображённых на рисунке, была чётной?