Кружок 9 класса

Руководители Иван Александрович Дорофеев и Степан Львович Кузнецов
2005/2006 учебный год

Игра. Математический бой

1.
Хозяин послал работника на базар купить 20 птиц: гусей, уток и цыплят. Он дал работнику 48 $. Гусей велел покупать по 3 $ за штуку, уток — по 1 $, а цыплят — по 0,5 $. Сколько гусей, сколько уток и сколько цыплят купил работник?
2.
Напишите (выразите) 100 шестью одинаковыми цифрами. Кроме цифр, разрешается пользоваться также знаками сложения, вычитания, умножения, деления.
3.
[крестик] Разрежьте крестик (см. рисунок) на 5 частей так, чтобы из них можно было составить квадрат.
4.
Жил в ауле старик. И было у него 3 сына. Когда старик умер, он оставил наследство — 17 верблюдов, и завещал их распределить так: старшему сыну отдать половину стада, среднему одну треть, а младшему одну девятую часть стада. Причем условие поставил такое — ни одного верблюда не резать. Принялись сыновья делить наследство. Делили, делили, но разделить не смогли. Старший требует себе половину стада — 17 пополам, т.е. 8,5; как же верблюда пополам делить? Остальные братья тоже не хотят уступать, требуют свою долю. Долго спорили братья, но решить ничего не могли. В это время на верблюде через аул проезжал старик. Подъехал он к братьям и спрашивает: «О чем вы спорите, дети?» Ему рассказали. Улыбнулся лукаво старик и говорит: «Я разделю!» И разделил наследство. Все 3 брата остались довольны, а старик сел на своего верблюда и поехал дальше. Как мудрый старик поделил верблюдов?
5.
Учительнице одной из школ штата Нью-Йорк подложили кнопку на стул. Сделать это мог только кто-нибудь из пяти учеников: Лилиан, Джуди, Дэвид, Тео или Маргарет. При опросе этих учащихся каждый из них дал по 3 показания:
Лилиан:1) я не подкладывала кнопку,
2) я никогда в своей жизни не подкладывала никому кнопки,
3) это сделал Тео.
Джуди:4) я не подкладывала кнопку,
5) у меня и кнопок-то с собой не было,
6) Маргарет знает, кто это сделал.
Дэвид:7) я не подкладывал кнопку,
8) с Маргарет я не был знаком до поступления в школу,
9) это сделал Тео.
Тео:10) я не виновен,
11) это сделала Маргарет,
12) Лилиан лжет, утверждая, что я подложил кнопку,
Маргарет:13) я не подкладывала кнопку,
14) в этом виновна Джуди,
15) Дэвид может поручиться за меня, т.к. знает меня со дня рождения.
При дальнейших расспросах каждый из учеников признал, что из сделанных им трех заявлений два верных и одно неверное. Определите, кто из учеников подложил кнопку.
6.
а)
Представьте себе, что земной шар один раз опоясан по экватору верёвкой. Эту веревку разрезали, прибавили к ней 1 метр и снова растянули в окружность вокруг Земли так, что центр окружности совпадает с центром Земли (так, как показано на рисунке). Пройдет ли в образовавшийся зазор апельсин?
б)
Представьте себе, что теперь опоясали футбольный мяч, затем прибавили к верёвке 1 метр, так же как в пункте (а) растянули вокруг мяча и снова пытаются просунуть апельсин. Пройдет?
в)
Ту же самую процедуру проделали с шариком для настольного тенниса. Образовался зазор между шариком и веревкой, к которой прибавлен 1 метр. Пройдет ли в зазор апельсин?
7.
Вычислите: 2005² − 2004·2006 + 2003·007 − … − 2·4008 + 1·4009.
8.
Есть три кучки камней. В двух их них по 11 камней, а в третьей — 13. Двое по очереди делают ходы. За один ход разрешается либо взять один камень из какой-то кучки, либо взять два камня по одному из двух различных кучек. Выигрывает тот, кто заберёт последний камень. Кто, первый или второй, выигрывает при правильной игре и как он должен играть?
9.
На рисунке справа изображен вид сверху некоторой объемной фигуры и ее вид сбоку (эти виды одинаковы). Пунктирными линиями на чертежах показываются скрытые линии (их на данном рисунке нет, значит, и самих скрытых линий в указанных видах нет). Что это за объемная фигура?
10.
В Чебабурге имеют хождение монеты трех видов: 1, 2 и 5 талеров. Масса каждой монеты одного из видов (в унциях) совпадает с ее достоинством (в талерах), масса каждой монеты другого вида в полтора раза больше ее достоинства, а масса каждой монеты третьего вида — в два раза больше. Имеется неограниченный запас монет каждого вида и чашечные весы без гирь. Какое наименьшее количество взвешиваний позволит наверняка определить массу монет каждого достоинства?
11.
В середине одной из стен квадратной комнаты 3×3 имеется проход шириной 1 м (показано на рисунке). Можно ли в эту комнату внести какой-нибудь стол, имеющий площадь более 4 м²?
12.
Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и сумме двух других сторон.