Кружок 7 класса

Домашняя олимпиада №3

1.

Нарисуйте замкнутую ломаную из любого числа звеньев, пересекающую каждое своё звено 3 раза.

2.

Дана картина с верёвкой, и даны a) два, b) три, c) шесть гвоздей, вбитые в стенку. Надо повесить картину на гвозди так, чтобы при выдергивании любого из них картина падала. Верёвка достаточно длинная.

3.

На ступеньках лесенки сидят 3 молодых человека. Средний при этом видит нижнего, верхний видит первых двух. В мешке 5 кепок — две черных и три белых. Сидящим на головы надевают какие-то из этих кепок, никто не видит, какого цвета кепка на нём.

Затем у верхнего спрашивают: ты знаешь, какая на тебе кепка?
— Нет, — отвечает он, — откуда мне знать?
Спрашивают у среднего: а ты знаешь, какая на тебе?
— Нет, понятия не имею, — отвечает средний.
Наконец, спрашивают нижнего: ну а ты, что скажешь?
— Знаю, — говорит он. — На мне …

Продолжите его фразу.

4.

В ожесточённой драке более 70% хулиганов повредило глаз, более 75% повредило ухо, более 80% повредило руку, более 85% повредило ногу. Каким самым маленьким может быть количество драчунов, повредивших всё?

5.

Какие простые числа нельзя записать в виде суммы двух составных чисел?

6.

Олег поспорил с Гошей на подзатыльник, что он сможет отгадать любое задуманное им число от 1 до 1000 не более чем за 10 вопросов вида: «Это число больше/меньше такого-то?», причем Гоша хочет отвечать на них только «да» или «нет». Кто выиграет спор?

7.

По чистому полю едет танк. По его гусенице бежит мышка так, что всё время остаётся неподвижной относительно танка. Танк проехал 1 км, потом героически остановился. Какое расстояние пробежала за это время мышка?

8.

Вы находитесь в пещере, в которой есть 2 выхода, один — на свободу, другой — ко льву! У каждого выхода стоит охранник. Один из них говорит всегда правду, другой — всегда ложь. Кто льва охраняет, неизвестно. Где какой стоит, непонятно. Какой один вопрос нужно задать охраннику, чтобы точно определить, какой выход правильный?

9.

Сколько существует четырёхзначных чисел, содержащих хотя бы одну пятёрку и делящихся на 5?

10.

За каждую решённую задачу участник заочного конкурса получает столько баллов, сколько других зарегистрированных учаcтников её не решили. Вовочка набрал меньше всех баллов, но в последний момент уговорил нескольких своих друзей зарегистроваться для участия в турнире. (Уговорил зарегистрироваться, но не решать задачи.) Мог ли в результате этого он набрать больше всех баллов?