Кружок 7 класса

Домашняя олимпиада №2

1.

Часы с боем бьют каждые полчаса. Когда минутная стрелка смотрит вверх, они бьют столько раз, сколько часов сейчас наступило, а когда стрелка смотрит вниз, они бьют ровно один раз. Сколько раз часы бьют за сутки? (В полночь часы бьют 12 раз.)

2.

a)

В полночь обе стрелки часов смотрят вверх, потом минутная сразу начинает обгонять часовую. Через какое время они совместятся опять?

b)

Сколько раз за сутки стрелки часов смотрят в одну и ту же сторону?

3.

Есть две верёвочки, каждая горит ровно 20 минут. Скорость горения верёвочек разная в разных местах. Как с их помощью засечь 15 минут?

4.

a)

Время, за которое бегун пробежал 800 метров, сначала выразили в минутах с точностью до двух знаков после запятой (то есть, если он пробежал это расстояние за минуту и 20 секунд, то получилось бы число 1.33 ≈ 1¹/₃), а потом перевели в секунды с точностью до целого (умножили на 60 и округлили). Можно ли теперь восстановить исходное число?

b)

Время, за которое бегун пробежал 1500 метров, сначала выразили в секундах с точностью до целого, а потом перевели в минуты с точностью до двух знаков после запятой, (разделили на 60 и округлили). Можно ли теперь восстановить исходное число?

5.

В письменности антиподов числа записываются теми же цифрами, что и у нас, но каждая цифра имеет другое значение (ни одна не совпадает!). Оказалось, что у антиподов верны равентсва 5 · 8 + 7 + 1 = 48
2 · 2 · 6 = 24
5 · 6 = 30 Как антипод продолжит равенство 2³ = …? Что у антиподов означает цифра 9?

6.

Пентамино — это фигура, состоящая из 5 клеточек. Например, такая: . Разрежьте прямоугольник размером 5 на 12 на 12 различных пентаминошек.

7.

В стол вбиты три вертикальных стержня. На первом из них нанизано 300 красных колец, на втором — 300 синих. Третий стержень пуст. За один ход можно взять верхнее кольцо с любого стержня и переложить его на другой стержень. Вовочка хочет, чтобы кольца на первом стержне чередовались по цвету, начиная с синего: синий-красный-синий-…, а на втором — начиная с красного: красный-синий-красный-… (считая снизу). Сможет ли он этого добиться за 1000 ходов?

8.

Кто побеждает в следующих играх?

a)

Двое закрашивают доску 100×100. Первый рисует квадратики 2×2, а второй — трёхклеточные уголки. Прогрывает тот, кто не может сделать ход.

b)

Первый закрашивает одну клетку, а второй — трёхклеточные уголки. Прогрывает тот, кто не может сделать ход.

9.

Найдите наибольший общий делитель всех девятизначных чисел, состоящих из разных цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 во всех возможных порядках. (то есть НОД чисел 123456789, 154723986, 543786921 и т. д.)

10.

Вася написал 5-значное число, затем записал то же число задом наперёд и полученную пару чисел сложил. a) Докажите, что в полученной сумме хотя бы одна цифра чётная. b) Осталось ли бы верным это утверждение, если бы число было 6-значным? c) А 7-значным?