Кружок 7 класса

Домашняя олимпиада №1

1.

Для постройки дома не хватало места. Архитектор изменил проект: убрал 2 подъезда и добавил 3 этажа. Количество квартир увеличилось. Он обрадовался и решил убрать ещё 2 подъезда и добавить ещё 3 этажа. Могло ли при этом квартир стать даже меньше, чем в исходном проекте? (Во всех подъездах одинаковое число этажей, на всех этажах во всех подъездах одинаковое число квартир.)

2.

На какое наименьшее число частей надо разрезать торт, чтобы его можно было раздать поровну как троим, так и четверым, если a) части обязательно должны быть одинаковыми, b) разрешено делать части любого размера?

3.

После 7 стирок длина, ширина и высота куска мыла уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска?

4.

Придумайте 10 натуральных чисел, у которых и сумма, и произведение равны 20.

5.

Купец везёт деньги из пункта A в пункт B. На дорогах водятся разбойники, на каждой дороге они забирают у проезжающих какую-то часть денег, имеющихся у тех в данный момент. Какую именно, показано на рисунке. Как должен ехать купец, чтобы довести как можно бóльшую часть денег в пункт B? Сколько существует оптимальных путей? Какую часть денег он довезёт?

6.

Над цепью озёр летела стая белых гусей. На каждом озере садилась половина гусей и ещё полгуся, а остальные летели дальше. Все гуси сели на семи озёрах. Сколько гусей было в стае?

7.

Разрежьте фигурку «рыбка» на две равные части.

8.

С помощью чисел 1, 3, 4 и 6 (каждое использовать 1 раз) и действий сложения, вычитания, умножения и деления (возведения в степень нет, операции можно использовать, как угодно, склеивать цифры в числа нельзя) выразить число 24.

9.

Антон перемножил все натуральные числа от 1 до своего возраста. Получилось число 8 841 761 993 739 701 954 543 616 000 000. Сколько Антону лет?

10.

Матч в футбол между командами Кардиналы Аризоны и Пантеры Каролины закончился со счётом 20:24. Докажите, что во время матча был такой момент, когда выигравшей команде осталось забить сколько голов, сколько уже забили ей.

11.

Света и Аня по очереди слева направо пишут цифры четырёхзначного числа. Первую — Света, вторую — Аня, третью — Света, четвёртую — Аня. Если полученное число делится a) на 9 b) на 11 c) на 12, то выиграет Аня, иначе — Света. У кого — Светы или Ани — есть выигрышная стратегия?