Кружок 7 класса

Руководители Екатерина и Евгений Адищевы
2005/2006 учебный год

Листок 9. Математическая регата

Первый тур

Максимальная оценка за каждую задачу этого тура — 3 балла
1.1
Купец купил товар за 7 золотых и продал его за 8. Потом он увидел, что в другом месте за этот товар дают 10 золотых, снова выкупил его за 9 и продал за 10. Какова его прибыль?
1.2
Два игрока по очереди ставят ладьи на шахматное поле. Ставить на поле, которое бьет одна из поставленных ранее фигур, запрещено. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто победит?
1.3
Взяли три равных числа, первое из них уменьшили на 1%, второе уменьшили на 20%, после чего сумму второго и третьего увеличили на 10% и сложили с первым. На сколько процентов и в какую сторону полученное число отличается от суммы трех исходных чисел?

Второй тур

Максимальная оценка за каждую задачу этого тура — 5 баллов
2.1
На какое максимальное число различных прямоугольников с целыми сторонами можно разрезать квадрат 5×5?
2.2
Есть три комнаты, на каждой из них — по табличке. Только на одной из табличек — истинное утверждение, на остальных — ложные. Кроме того, в одной из комнат сидит принцесса, а в двух других — тигры. Требуется определить, в какой комнате принцесса. Утверждения на табличках следующие:
  1. В этой комнате сидит тигр
  2. В этой комнате — принцесса
  3. Тигр сидит во второй комнате
2.3
На столе лежат 15 спичек. Два игрока по очереди берут со стола спички, причем за один раз разрешается брать 1, 2 или 3 спички. Кто из них выиграет?

Третий тур

Максимальная оценка за каждую задачу этого тура — 7 баллов
3.1
Есть три бочонка объемом по 8, 5 и 3 литра. Бочонок объемом 8 литров доверху наполнен квасом, а два других бочонка пусты. Требуется разделить квас ровно пополам. Как это сделать?
3.2
В автобусе имеются одноместные и двухместные сидения. Кондуктор заметил, что когда в автобусе сидело 13 человек, то 9 сидений были полностью свободными, а когда сидело 10 человек, то свободными были 6 сидений. Сколько сидений в автобусе?
3.3
Джон и Мэри живут в небоскребе, на каждом этаже которого 10 квартир. Номер этажа Джона равен номеру квартиры Мэри, а сумма номеров их квартир равна 239. В какой квартире живет Джон?

Четвертый тур

Максимальная оценка за каждую задачу этого тура — 9 баллов
4.1
Как составить сумму в 99 копеек из 22 монет по 2, 3 и 5 копеек?
4.2
В некоторой стране есть 100 городов, и все они пронумерованы цифрами от 1 до 100. Известно, между двумя городами есть дорога только в том случае, если сумма их номеров делится на 5. Каков максимальный номер города, в который мы можем попасть из города с номером 8?
4.3
Может ли число, состоящее только из четвёрок (число 44…4) быть делителем числа, состоящего только из троек (число 33…3). А наоборот?