Кружок 7 класса

Листок 7. Взвешивания

В задачах 1–6 используются чашечные весы. Они показывают, на какой из двух чашек груз легче, но не показывают на сколько.

1.

a)

Имеются три одинаковые на вид старинные монеты. Две из них весят одинаково, а третья — меньше. Можно ли её обнаружить с помощью одного взвешивания?

b)

Есть 9 монет, одна из которых фальшивая. Известно, что фальшивая монета тяжелее настоящих. Найдите её за два взвешивания.

2.

Имеется 101 монета. Среди них 100 одинаковых настоящих монет и одна фальшивая, отличающаяся от них по весу. Необходимо выяснить, легче или тяжелее фальшивая монета, чем настоящая. Как это сделать при помощи двух взвешиваний? (Саму монету искать не нужно.)

3.

Среди четырёх монет одна фальшивая. Она то ли легче настоящей, то ли тяжелее. Масса настоящей монеты 5 г. Имеется одна гиря массы 5 г. За два взвешивания на чашечных весах обнаружьте фальшивую монету, выяснив при этом, легче она или тяжелее настоящей.

4.

Имеется 4 камня, различных по весу. Найдите самый тяжелый и самый легкий среди них всего за 4 взвешивания.

5.

В качестве вещественного доказательства суду были предъявлены 8 монет, среди которых 4 монеты — фальшивые, весящие меньше настоящих, но не обязательно все одинаково. Адвокат обвиняемого знает, какие именно монеты настоящие, а какие фальшивые, и хочет убедить в этом суд. Как ему это сделать всего за 3 взвешивания?

6.

Есть шесть монет, из которых две фальшивые, весящие поровну, но меньше настоящих. За три взвешивания на чашечных весах определите обе фальшивые монеты.

7.

На монетном заводе 100 рабочих. Каждому выдано по килограмму золота для изготовления 100 десятиграммовых монет. Среди рабочих есть один рационализатор, который делает монеты весом 9 граммов. Можно ли при помощи одного взвешивания на весах с делениями, то есть показывающих вес, положенного на них груза, найти обманщика?

8.

В гостиницу приехал путешественник. У него с собой есть только серебряная цепочка из 7 звеньев. За каждый день пребывания в гостинице он расплачивался одним звеном цепочки. Хозяин гостиницы согласен в качестве платы принять только одно нецелое звено. Какое звено цепочки надо распилить, чтобы прожить в гостинице 7 дней и ежедневно расплачиваться с хозяином? (Хозяин может давать сдачу звеньями, полученными им ранее.)