Кружок 7 класса

Руководители Екатерина и Евгений Адищевы
2005/2006 учебный год

Листок 19. Всякая всячина

1.
Как разделить поровну 7 яблок между 12 людьми, чтобы каждое яблоко было разрезано на равные части, но не более, чем на 5 частей?
2.
На доске в ряд написаны 11 единиц. Перед каждой (в том числе и перед первой) поставлен либо знак „+”, либо „−”. Какие числа могут получиться при вычислении этого выражения (все варианты)?
3.
(Эта задача не совсем математическая, попробуйте провести эксперимент) Два ящика одинакогого размера заполнены картошкой: в одном мелкая, в другом крупная. Какой из них тяжелее?
4.
Докажите, что в любой группе людей найдутся 2 человека, имеющие равное количество знакомых среди присутствующих. Если A знаком с B, то и B знаком с A.
5.
Имеются «неправильные» чашечные весы, плечи которых имеют разную длину. Ещё есть достаточно большой мешок соли и гиря весом 1 килограмм. Как отсыпать себе 1 килограмм соли?
6.
Кубик покрасили в синий цвет, а потом распилили на 27 маленьких кубиков (каждая сторона разрезана на 9 квадратов). Cколько граней может быть окрашено у этих маленьких кубиков (найти все варианты)? Сколько получилось кубиков с одинаковой раскраской?
7.
Может ли произведение трёх последовательных чисел быть равным a) 123123? b) 1231234?
8.
Вычислите без использования вычислительной техники
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).
9*.
a)
На доске написано 1001 число (числа произвольны, не от 1 до 1001). Докажите, что среди этих чисел найдётся пара, разность между которыми делится на 1000.
b)
На доске в ряд написана 1000 произвольных чисел. Докажите, что найдётся такой отрезок идущих подряд чисел (возможно, из одного числа), сумма чисел в котором делится на 1000.