Кружок 7 класса

Листок 14. Раскраски

1.

Плоскость окрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки на расстоянии 1 метр a) разных цветов; b) одного цвета.

2.

Из шахматной доски вырезали угловую клетку. Разрежьте оставшуюся часть на трёхклеточные уголки.

3.

Каждая точка плоскости окрашена в один из трёх цветов. Докажите, что на плоскости найдётся отрезок длины 1, концы которого раскрашены одинаково.

4.

Раскрасьте плоскость в разные цвета (любое количество, но не более 100), так чтобы концы любого отрезка длиной 1 были разных цветов.

5.

Раскраска географической карты является правильной, если любые два соседних государства раскрашены в разные цвета. Страны, не имеющие общего участка границы, могут быть раскрашены в один цвет.

1. Верно, что для раскраски любой карты достаточно трёх цветов?
2. А хватит ли трёх цветов, если все страны имеют форму треугольников?

6.

У художника-абстракциониста Карандаша есть только три карандаша — чёрный, белый и красный. Он всегда использует их все. Может ли он покрасить всю плоскость так, чтобы каждая прямая была раскрашена всего в два цвета?

7.

Художник-авангардист Змий Клеточкин покрасил несколько клеток доски размером 7×7, соблюдая правило: каждая следующая закрашиваемая клетка должна соседствовать по стороне с предыдущей закрашенной клеткой, но не должна — ни с одной другой ранее закрашенной клеткой. Ему удалось покрасить 31 клетку. Закрасьте таким методом a) 32 клетки, b) 33 клетки.